《2025年快乐暑假黄山书社八年级数学沪科版》

12. 下面是来自美国教材上的一道题:
The quadratic equation$2x^{2}-8x + 1 = 0$has roots$\alpha$and$\beta$.
(a)Without solving the equation,find the value of
(ⅰ)$\alpha+\beta$;4
(ⅱ)$\alpha\beta$;$\frac{1}{2}$
(b)Another quadratic equation$x^{2}+px + q = 0(p,q\in\mathbf{Z})$has roots$\frac{2}{\alpha}$and$\frac{2}{\beta}$.
Find the value of$p$$-16$and the value of$q$$8$.
意思是:已知方程$2x^{2}-8x + 1 = 0$有两个根$\alpha$和$\beta$.
(1)不解方程,求:①$\alpha+\beta$;4②$\alpha\beta$;$\frac{1}{2}$
(2)另一方程$x^{2}+px + q = 0(p,q$为整数)有两个根$\frac{2}{\alpha}$和$\frac{2}{\beta}$,求$p$$-16$和$q$$8$的值.

答案：
(1) ① 4 ② $\frac{1}{2}$
(2) $p = -16$，$q = 8$。

13. 是否存在这样一个矩形,它的周长和面积的数值都等于6?若存在,请求出相邻两边的比;若不存在,请说明理由.

答案： 解：设矩形的长为$x$，宽为$y$。
根据矩形周长公式$C = 2(x + y)$，面积公式$S=xy$，已知$2(x + y)=6$，$xy = 6$。
由$2(x + y)=6$可得$x + y = 3$，则$y = 3 - x$。
把$y = 3 - x$代入$xy = 6$中，得到$x(3 - x)=6$。
展开式子得$3x-x^{2}=6$，移项化为一元二次方程的一般形式$x^{2}-3x + 6=0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b=-3$，$c = 6$。
根据判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，则$\Delta=(-3)^{2}-4\times1\times6=9 - 24=-15\lt0$。
因为$\Delta\lt0$，所以此一元二次方程无实数根。
所以不存在这样的矩形。