《2025年快乐暑假黄山书社八年级数学沪科版》

6. 以正方形 ABCD 的边 AD 为边作等边$△ADE$,则$∠BEC$的度数是$30^{\circ}$ 或 $150^{\circ}$.

答案： $30^{\circ}$ 或 $150^{\circ}$

7. 如下左图,点 P 是正方形 ABCD 内位于对角线 AC 下方的一点,$∠1=∠2$,则$∠BPC$的度数为______135$^{\circ }$.

答案： 135

8. 如下中图,在正方形 ABCD 中,F 是 BC 延长线上一点且$CF=AC$,AF 交 DC 于点 E,则$∠AEC=$$112.5^{\circ}$.

答案： $112.5^{\circ}$

9. 如上右图,在$△ABC$中,$∠ABC=90^{\circ }$,点 D 为 AC 的中点,过点 C 作$CE⊥BD$于点 E,过点 A 作 BD 的平行线,交 CE 的延长线于点 F,在 AF 的延长线上截取$FG=BD$,连接 BG,DF.假设$AG=13,CF=6$,那么四边形 BDFG 的周长为20.

答案： 20

10. 如图,将一张矩形纸片 ABCD 沿直线 MN 折叠,使点 C 落在点 A 处,点 D 落在点 E 处,直线 MN 交 BC 于点 M,交 AD 于点 N.
(1) 求证:$CM=CN$;
(2) 假设$△CMN$的面积与$△CDN$的面积的比为$3:1$,求$\frac {MN}{DN}$的值.

答案：

(1)由折叠的性质可得 $\angle ANM=\angle CNM$。
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $AD// BC$，
∴ $\angle ANM=\angle CMN$，
∴ $\angle CNM=\angle CMN$，
∴ $CM=CN$。
(2)如图, 过点 $N$ 作 $NH\perp BC$ 于点 $H$，则四边形 $NHCD$ 是矩形，
∴ $HC=DN$，$NH=DC$。
∵ $\triangle CMN$ 的面积与 $\triangle CDN$ 的面积之比为 $3:1$，
∴ $\frac{S_{\triangle CMN}}{S_{\triangle CDN}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot MC\cdot NH}{\frac{1}{2}\cdot DN\cdot DC}=\frac{MC}{ND}=3$，
∴ $MC=3ND=3HC$，
∴ $MH=2HC$。设 $DN=x$，那么 $HC=x$，$MH=2x$，
∴ $CM=3x=CN$，在 $Rt\triangle CDN$ 中，$DC=\sqrt{CN^{2}-DN^{2}}=2\sqrt{2}x$，
∴ $HN=2\sqrt{2}x$。在 $Rt\triangle MNH$ 中，$MN=\sqrt{MH^{2}+HN^{2}}=2\sqrt{3}x$，
∴ $\frac{MN}{DN}=\frac{2\sqrt{3}x}{x}=2\sqrt{3}$。