《2025年快乐暑假黄山书社八年级数学沪科版》

11. 如图,四边形 ABCD 是正方形,G 是 BC 上任意一点(点 G 与点 B,C 不重合),$AE⊥DG$于点 E,$CF// AE$交 DG 于点 F.
(1) 在图中找出一对全等三角形,并加以证明;
答：$\triangle AED\cong\triangle DFC$
证明：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AD = DC$，$\angle ADC=90^{\circ}$。
因为$AE\perp DG$，$CF// AE$，所以$\angle AED=\angle DFC = 90^{\circ}$。
又因为$\angle EAD+\angle ADE = 90^{\circ}$，$\angle FDC+\angle ADE=\angle ADC = 90^{\circ}$，根据同角的余角相等，可得$\angle EAD=\angle FDC$。
在$\triangle AED$和$\triangle DFC$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle AED=\angle DFC\\\angle EAD=\angle FDC\\AD = DC\end{array}\right.$
根据AAS（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），所以$\triangle AED\cong\triangle DFC$。
(2) 试说明$AE=FC+EF$.
解：
因为$\triangle AED\cong\triangle DFC$，所以$AE = DF$，$DE=FC$。
又因为$DF=DE + EF$，将$AE = DF$，$DE = FC$代入可得：$AE=FC + EF$。

答案： 1. （1）
解：$\triangle AED\cong\triangle DFC$。
证明：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AD = DC$，$\angle ADC=90^{\circ}$。
因为$AE\perp DG$，$CF// AE$，所以$\angle AED=\angle DFC = 90^{\circ}$。
又因为$\angle EAD+\angle ADE = 90^{\circ}$，$\angle FDC+\angle ADE=\angle ADC = 90^{\circ}$，根据同角的余角相等，可得$\angle EAD=\angle FDC$。
在$\triangle AED$和$\triangle DFC$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle AED=\angle DFC\\\angle EAD=\angle FDC\\AD = DC\end{array}\right.$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），所以$\triangle AED\cong\triangle DFC$。
2. （2）
解：
因为$\triangle AED\cong\triangle DFC$，所以$AE = DF$，$DE=FC$。
又因为$DF=DE + EF$，将$AE = DF$，$DE = FC$代入可得：$AE=FC + EF$。

12. 如图,在$□ ABCD$中,$AB=2,BC=4,∠ABC=60^{\circ }$.E,F 分别是 BC,AD 上的点,且$BE=DF$,连接 AE,BF,交于点 G,连接 DE,CF,交于点 H.

(1) 求证:四边形 GEHF 是平行四边形;
(2) 若 E,F 分别是 BC,AD 上的动点,设$BE=DF=x$,试推断:当 x 等于多少时,四边形 GEHF 是矩形?2

答案： $(1)$ 证明四边形$GEHF$是平行四边形
解：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$AD = BC$。
又因为$BE = DF$，所以$AF = EC$。
由于$AF// EC$，所以四边形$AECF$是平行四边形，那么$AE// CF$。
同理，因为$AD// BC$，$BE = DF$，所以四边形$BFDE$是平行四边形，那么$BF// DE$。
两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以四边形$GEHF$是平行四边形。
$(2)$ 求$x$的值使四边形$GEHF$是矩形
解：
当$AE\perp BF$时，四边形$GEHF$是矩形。
过$A$作$AM\perp BC$于$M$。
在$Rt\triangle ABM$中，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$AB = 2$，则$\angle BAM = 30^{\circ}$，所以$BM=\frac{1}{2}AB = 1$，根据勾股定理$AM=\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$。
因为$BE = x$，所以$ME=x - 1$。
$\triangle ABG\sim\triangle EBG$（$AA$相似，$\angle AGB=\angle EGB = 90^{\circ}$，$\angle ABG=\angle EBG$），则$\triangle ABE$是等腰三角形，$BE = AB$。
已知$AB = 2$，所以$x = 2$。
综上，$(1)$ 已证四边形$GEHF$是平行四边形；$(2)$ $x = 2$时，四边形$GEHF$是矩形。