《2025年快乐暑假黄山书社八年级数学沪科版》

10. 先化简,再求值:$5 \sqrt { \frac { x } { 5 } } + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 20 x } - \frac { 5 x } { 4 } \sqrt { \frac { 4 } { 5 x } }$,其中$x = \frac { 1 } { 3 }$.

答案： 原式$=\frac{3}{2}\sqrt{5x}$；当$x = \frac{1}{3}$时，原式$=\frac{\sqrt{15}}{2}$。

11. 阅读下列各式及其验证过程:
①$2 \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } = \sqrt { 2 + \frac { 2 } { 3 } }$.
验证:$2 \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } = \sqrt { \frac { 2 ^ { 3 } } { 3 } } = \sqrt { \frac { ( 2 ^ { 3 } - 2 ) + 2 } { 2 ^ { 2 } - 1 } } = \sqrt { \frac { 2 ( 2 ^ { 2 } - 1 ) + 2 } { 2 ^ { 2 } - 1 } } = \sqrt { 2 + \frac { 2 } { 3 } }$.
②$3 \sqrt { \frac { 3 } { 8 } } = \sqrt { 3 + \frac { 3 } { 8 } }$.
验证:$3 \sqrt { \frac { 3 } { 8 } } = \sqrt { \frac { 3 ^ { 3 } } { 8 } } = \sqrt { \frac { ( 3 ^ { 3 } - 3 ) + 3 } { 3 ^ { 2 } - 1 } } = \sqrt { \frac { 3 ( 3 ^ { 2 } - 1 ) + 3 } { 3 ^ { 2 } - 1 } } = \sqrt { 3 + \frac { 3 } { 8 } }$.
(1) 按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想$4 \sqrt { \frac { 4 } { 15 } }$的变形结果并进行验证;
猜想结果：$4\sqrt{\frac{4}{15}}=\sqrt{4 + \frac{4}{15}}$
验证过程：
$\begin{aligned}4\sqrt{\frac{4}{15}}&=\sqrt{\frac{4^{3}}{15}}\\&=\sqrt{\frac{(4^{3}-4)+4}{4^{2}-1}}\\&=\sqrt{\frac{4(4^{2}-1)+4}{4^{2}-1}}\\&=\sqrt{4+\frac{4}{15}}\end{aligned}$
(2) 针对上述各式反映的规律,写出用$n$（$n$为自然数,且$n \geqslant 2$）表示的等式,并给出证明.
等式：$n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}$
证明过程：
$\begin{aligned}n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}&=\sqrt{\frac{n^{3}}{n^{2}-1}}\\&=\sqrt{\frac{(n^{3}-n)+n}{n^{2}-1}}\\&=\sqrt{\frac{n(n^{2}-1)+n}{n^{2}-1}}\\&=\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}\end{aligned}$

答案： $(1)$ 猜想$4\sqrt{\frac{4}{15}}$的变形结果并验证
- **猜想结果**：$4\sqrt{\frac{4}{15}}=\sqrt{4 + \frac{4}{15}}$
- **验证过程**：
解（证明）：
$\begin{aligned}4\sqrt{\frac{4}{15}}&=\sqrt{\frac{4^{3}}{15}}\\&=\sqrt{\frac{(4^{3}-4)+4}{4^{2}-1}}\\&=\sqrt{\frac{4(4^{2}-1)+4}{4^{2}-1}}\\&=\sqrt{4+\frac{4}{15}}\end{aligned}$
$(2)$ 写出用$n$（$n$为自然数，且$n\geqslant2$）表示的等式并证明
- **等式**：$n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}$
- **证明过程**：
解（证明）：
$\begin{aligned}n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}&=\sqrt{\frac{n^{3}}{n^{2}-1}}\\&=\sqrt{\frac{(n^{3}-n)+n}{n^{2}-1}}\\&=\sqrt{\frac{n(n^{2}-1)+n}{n^{2}-1}}\\&=\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}\end{aligned}$
综上，$(1)$ $4\sqrt{\frac{4}{15}}=\boldsymbol{\sqrt{4 + \frac{4}{15}}}$；$(2)$ 等式为$\boldsymbol{n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}}$，证明如上。