《2025年快乐暑假黄山书社八年级数学沪科版》

11. 数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式的求值问题：
已知实数 $ a,b $同时满足 $ a^{2} + 2a = b + 2,b^{2} + 2b = a + 2 $，求代数式 $ \frac{b}{a} + \frac{a}{b} $的值.
结合他们的对话，请解答下列问题：
(1) 当 $ a = b $时，$ a $的值是1 或 -2；
(2) 当 $ a \neq b $时，代数式 $ \frac{b}{a} + \frac{a}{b} $的值是7.

答案：
(1) 1 或 -2
(2) 7 [提示: $ \because \left\{\begin{array}{l}a^{2}+2 a=b+2, \\ b^{2}+2 b=a+2,\end{array}\right. $ ① - ②，得 $ a^{2}-b^{2}+3 a-3 b=0 $，$ \therefore(a-b)(a+b+3)=0 $. $ \therefore a-b=0 $ 或 $ a+b+3=0 $. ① + ② 得 $ a^{2}+b^{2}=4-a-b $. (i) 当 $ a=b $ 时，得 $ a^{2}+a-2=0 $，解得 $ a_{1}=1 $，$ a_{2}=-2 $. $ \therefore a $ 的值是 1 或 -2. (ii) 当 $ a \neq b $ 时，则 $ a+b+3=0 $，即 $ a+b=-3 $. $ \because a^{2}+b^{2}=4-a-b $，$ \therefore a^{2}+b^{2}=7 $. $ \because(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}=9 $，$ \therefore a b=1 $. $ \therefore \frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a b}=\frac{7}{1}=7 $.]

12. $ \sqrt{2} $是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $ \sqrt{2} $的小数部分无法全部写出来，但是我们可以想办法把它表示出来.因为 $ 1 ＜ \sqrt{2} ＜ 2 $，所以 $ \sqrt{2} $的整数部分为1，将 $ \sqrt{2} $减去其整数部分后，得到的差就是其小数部分，于是 $ \sqrt{2} $的小数部分为 $ \sqrt{2} - 1 $.
根据上面文字，请解答下列问题：
(1) $ \sqrt{5} $的整数部分是2，小数部分是$\sqrt{5}-2$；
(2) 设 $ 7 + \sqrt{10} $的小数部分为 $ a,7 - \sqrt{10} $的小数部分为 $ b $.若 $ (x + 1)^{2} = a + b $，求 $ x $的值.
$ a=\sqrt{10}-3 $，$ b=4-\sqrt{10} $，$ \therefore a+b=1 $，$ \therefore(x+1)^{2}=1 $. $ \therefore x+1=\pm 1 $，$ \therefore x_{1}=0 $，$ x_{2}=-2 $

答案：
(1) $ 2 ; \sqrt{5}-2 $
(2) $ a=\sqrt{10}-3 $，$ b=4-\sqrt{10} $，$ \therefore a+b=1 $，$ \therefore(x+1)^{2}=1 $. $ \therefore x+1=\pm 1 $，$ \therefore x_{1}=0 $，$ x_{2}=-2 $.