《2025年快乐暑假黄山书社八年级数学沪科版》

8. 关于$x$的方程$x^{2}-(1 - 2k)x + k^{2}+k = 0$,当$k$$＜\frac{1}{8}$时,方程有两个不相等的实数根;当$k$$=\frac{1}{8}$时,方程有两个相等的实数根;当$k$$＞\frac{1}{8}$时,方程没有实数根.

答案： $＜\frac{1}{8}$；$=\frac{1}{8}$；$＞\frac{1}{8}$

9. 关于$x$的方程$x^{2}+mx - 2n = 0$的两根之和为$-4$,两根之积为3,则$m + n$的值为$\frac{5}{2}$.

答案： $\frac{5}{2}$

10. 已知关于$x$的一元二次方程$kx^{2}-(2k + 4)x + k - 6 = 0$有两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围;$k ＞ -\frac{2}{5}$ 且 $k \neq 0$
(2)当$k = 1$时,用配方法解方程.当 $k = 1$ 时，原方程为 $x^2 - 6x - 5 = 0$，即 $x^2 - 6x + 9 = 14$。$\therefore (x - 3)^2 = 14$，$\therefore x = 3 \pm \sqrt{14}$，即方程的根为 $x_1 = 3 + \sqrt{14}$，$x_2 = 3 - \sqrt{14}$

答案：
(1) $k ＞ -\frac{2}{5}$ 且 $k \neq 0$。
(2) 当 $k = 1$ 时，原方程为 $x^2 - 6x - 5 = 0$，即 $x^2 - 6x + 9 = 14$。$\therefore (x - 3)^2 = 14$，$\therefore x = 3 \pm \sqrt{14}$，即方程的根为 $x_1 = 3 + \sqrt{14}$，$x_2 = 3 - \sqrt{14}$。

11. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4mx + 3m^{2}=0$.
(1)求证:该方程总有两个实数根;
(2)若$m＞0$,且该方程两个实数根的差为2,求$m$的值.

答案：
(1) $\Delta = 4m^2 \geq 0$，$\therefore$ 该方程总有两个实数根。
(2) 设关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 4mx + 3m^2 = 0$ 的两个实数根为 $x_1$，$x_2$，则有 $x_1 + x_2 = 4m$，$x_1x_2 = 3m^2$。又 $|x_1 - x_2| = 2$，$\therefore (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 16m^2 - 12m^2 = 4$，$\therefore m = \pm 1$。$\because m ＞ 0$，$\therefore m = 1$。