《2025年快乐暑假黄山书社八年级数学沪科版》

11. 如图，在 $ □ ABCD $ 中，$ \angle DAB = 60^{\circ} $，点 $ E $，$ F $ 分别在 $ CD $，$ AB $ 的延长线上，且 $ AE = AD $，$ CF = CB $。
(1) 求证：四边形 $ AFCE $ 是平行四边形。
$ \because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore DC // AB$，$\angle DCB = \angle DAB = 60^{\circ}$，$\therefore \angle ADE = \angle CBF = 60^{\circ}$。$\because AE = AD$，$CF = CB$，$\therefore \triangle AED$，$\triangle CFB$ 都是正三角形。$\because AD = BC$，$DC // AB$，$\therefore ED = BF$。$\therefore ED + DC = BF + AB$，即 $EC = AF$。$\because DC // AB$，即 $EC // AF$，$\therefore$ 四边形 $AFCE$ 是平行四边形。
(2) 若去掉已知条件中的“$ \angle DAB = 60^{\circ} $”，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由。
成立。证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore AD=BC$，$DC=AB$，$\angle ADC=\angle ABC$，$DC// AB$，$\therefore \angle ADE=\angle CBF$。$\because AE=AD$，$CF=CB$，$\therefore \angle ADE=\angle AED$，$\angle CBF=\angle CFB$，$\therefore \angle AED=\angle CFB$，$\therefore \triangle ADE \cong \triangle CBF(AAS)$，$\therefore ED=FB$，$\because DC=AB$，$\therefore ED + DC = BF + AB$，即 $EC=AF$。又 $\because DC // AB$，即 $EC // AF$，$\therefore$ 四边形 $AFCE$ 是平行四边形。

答案：
(1) $ \because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore DC // AB$，$\angle DCB = \angle DAB = 60^{\circ}$，$\therefore \angle ADE = \angle CBF = 60^{\circ}$。$\because AE = AD$，$CF = CB$，$\therefore \triangle AED$，$\triangle CFB$ 都是正三角形。$\because AD = BC$，$DC // AB$，$\therefore ED = BF$。$\therefore ED + DC = BF + AB$，即 $EC = AF$。$\because DC // AB$，即 $EC // AF$，$\therefore$ 四边形 $AFCE$ 是平行四边形。
(2) 上述结论还成立。证 $ \triangle ADE \cong \triangle CBF$，$\therefore ED = FB$，$\therefore ED + DC = BF + AB$，即 $EC = AF$。又 $\because DC // AB$，即 $EC // AF$。$\therefore$ 四边形 $AFCE$ 是平行四边形。

12. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，$ \angle CAB = 30^{\circ} $，以线段 $ AB $ 为边向外作等边 $ \triangle ABD $，点 $ E $ 是线段 $ AB $ 的中点，连接 $ CE $ 并延长交线段 $ AD $ 于点 $ F $。
(1) 求证：四边形 $ BCFD $ 为平行四边形；
(2) 若 $ AB = 6 $，求 $ □ BCFD $ 的面积。

(1) 在 $ \text{Rt} \triangle ABC$ 中，$E$ 为 $AB$ 的中点，则 $CE = \frac{1}{2} AB$，$BE = \frac{1}{2} AB$。又 $ \angle CAB = 30^{\circ}$，$\therefore \angle BCE = \angle EBC = 60^{\circ}$。$\therefore \angle EBC = \angle EAF = 60^{\circ}$，$BE = AE$，$\angle BEC = \angle AEF$，$\therefore \triangle AEF \cong \triangle BEC ( \text{ASA} )$，$\therefore \angle AFE = \angle BCE = 60^{\circ}$。又 $ \angle D = 60^{\circ}$，得 $ \angle AFE = \angle D = 60^{\circ}$，$\therefore FC // BD$。又 $\because \angle BAD = \angle ABC = 60^{\circ}$，$\therefore AD // BC$，$\therefore$ 四边形 $BCFD$ 是平行四边形。
(2) $ 9 \sqrt{3} $（提示：在 $ \text{Rt} \triangle ABC$ 中，求出 $BC$，$AC$ 即可解决问题。）

答案：
(1) 在 $ \text{Rt} \triangle ABC$ 中，$E$ 为 $AB$ 的中点，则 $CE = \frac{1}{2} AB$，$BE = \frac{1}{2} AB$。又 $ \angle CAB = 30^{\circ}$，$\therefore \angle BCE = \angle EBC = 60^{\circ}$。$\therefore \angle EBC = \angle EAF = 60^{\circ}$，$BE = AE$，$\angle BEC = \angle AEF$，$\therefore \triangle AEF \cong \triangle BEC ( \text{ASA} )$，$\therefore \angle AFE = \angle BCE = 60^{\circ}$。又 $ \angle D = 60^{\circ}$，得 $ \angle AFE = \angle D = 60^{\circ}$，$\therefore FC // BD$。又 $\because \angle BAD = \angle ABC = 60^{\circ}$，$\therefore AD // BC$，$\therefore$ 四边形 $BCFD$ 是平行四边形。
(2) $ 9 \sqrt{3} $（提示：在 $ \text{Rt} \triangle ABC$ 中，求出 $BC$，$AC$ 即可解决问题。）