《2025年快乐暑假黄山书社八年级数学沪科版》

13. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交线段AB于点D;以点A为圆心,AD长为半径画弧,交线段AC于点E,连接CD.
(1) 若$\angle A = 28^{\circ}$,求$\angle ACD$的度数.31°
(2) 设$BC = a$,$AC = b$,
① 线段AD的长是方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$的一个根吗? 请说明理由;是，理由如下：由勾股定理，得 $AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$，$\therefore AD = \sqrt{a^2 + b^2} - a$，解方程 $x^2 + 2ax - b^2 = 0$，得 $x = \frac{-2a \pm \sqrt{4a^2 + 4b^2}}{2} = \pm \sqrt{a^2 + b^2} - a$，$\therefore$ 线段 AD 的长是方程 $x^2 + 2ax - b^2 = 0$ 的一个根.
② 若$AD = EC$,求$\frac{a}{b}$的值.$\frac{3}{4}$

答案：
(1) $\angle ACD = 31^{\circ}$
(2) ① 由勾股定理，得 $AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$，$\therefore AD = \sqrt{a^2 + b^2} - a$，解方程 $x^2 + 2ax - b^2 = 0$，得 $x = \frac{-2a \pm \sqrt{4a^2 + 4b^2}}{2} = \pm \sqrt{a^2 + b^2} - a$，$\therefore$ 线段 AD 的长是方程 $x^2 + 2ax - b^2 = 0$ 的一个根. ② 由题意，知 AD = AE，又 AD = EC，$\therefore AE = EC = \frac{b}{2}$，由勾股定理，得 $a^2 + b^2 = (\frac{1}{2}b + a)^2$，整理得 $\frac{a}{b} = \frac{3}{4}$.