《2025年快乐暑假黄山书社八年级数学沪科版》

6. 在四边形 $ ABCD $ 中，$ AB // CD $，要使四边形 $ ABCD $ 为平行四边形，则应添加的条件是$AB = CD$ 或 $AD // BC$(添加一个条件即可)。

答案： $AB = CD$ 或 $AD // BC$

7. 如下左图，在 $ □ ABCD $ 中，$ \angle ABC = 60^{\circ} $，$ E $，$ F $ 分别在 $ CD $ 和 $ BC $ 的延长线上，$ AE // BD $，$ EF \perp BF $，$ EF = \sqrt{3} $，那么 $ AB $ 的长是______1。

答案： 1

8. 如上中图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 6 $，$ AC = 4 $，$ AD $ 是 $ BC $ 边上的中线，则 $ AD $ 的取值范围是$1 ＜ AD ＜ 5$。

答案： $1 ＜ AD ＜ 5$（提示：延长 $AD$ 到 $E$，使 $DE = AD$，连接 $EB$，证 $ \triangle EBD \cong \triangle ACD$，再利用三角形的有关知识求解）

9. 如上右图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = 3 $，$ BC = 4 $，$ E $ 为 $ AD $ 边上一动点，过 $ E $ 点作 $ EF \perp BC $，垂足为点 $ F $，连接 $ AF $，以 $ AF $ 为轴将 $ \triangle ABF $ 进行翻折，得到 $ \triangle AB'F $，连接 $ EC $。

(1) 当 $ A $，$ B' $，$ C $ 三点在同一条直线上时，$ FC $ 的长为______；
(2) 当 $ B' $ 点落在线段 $ EC $ 上时，$ FC $ 的长为______。

答案：

(1) $ \frac{5}{2} $
(2) 2 或 1 [提示：
(1) 如图，

$\because AB = 3$，$BC = 4$，$\therefore AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = 5$，$BF = 4 - FC$。$\because$ 以 $AF$ 为轴将 $ \triangle ABF$ 进行翻折，得到 $ \triangle AB'F$，$\therefore BF = B'F = 4 - FC$，$\angle B = \angle AB'F = 90^{\circ}$，$AB = AB' = 3$，$\therefore B'C = AC - AB' = 2$。在 $ \text{Rt} \triangle B'FC$ 中，$B'F^{2} + B'C^{2} = FC^{2}$，$\therefore (4 - FC)^{2} + 4 = FC^{2}$，解得 $FC = \frac{5}{2}$。
(2) 如图，过点 $E$ 作 $EH \perp AF$ 于点 $H$，过点 $B'$ 作 $B'N \perp AF$ 于点 $N$，

$\because$ 以 $AF$ 为轴将 $ \triangle ABF$ 进行翻折，得到 $ \triangle AB'F$，$\therefore AB = AB' = 3$，$\angle BAF = \angle B'AF$。$\because EF \perp BC$，$\therefore \angle EFB = \angle ABC = \angle BAD = 90^{\circ}$，$\therefore$ 四边形 $ABFE$ 是矩形，$\therefore AB = EF$，$AB // EF$，$AE = BF$，$\therefore \angle BAF = \angle AFE = \angle B'AF$。在 $ \triangle EFH$ 和 $ \triangle B'AN$ 中，$\begin{cases} \angle AFE = \angle B'AF \\ \angle FHE = \angle ANB' \\ EF = AB' \end{cases}$，$\therefore \triangle EFH \cong \triangle B'AN ( \text{AAS} )$，$\therefore EH = B'N$。$\because EH \perp AF$，$B'N \perp AF$，$\therefore EH // B'N$，$\therefore$ 四边形 $EHNB'$ 是平行四边形，$\therefore HN // EB'$，即 $AF // EC$。又 $\because AE // FC$，$\therefore$ 四边形 $AECF$ 是平行四边形，$\therefore AE = CF$，$\therefore BF = CF = 2$。当 $B'$ 与点 $E$ 重合时，$AE = AB' = 3 = BF$，则 $CF = 1$。综上，知 $FC$ 的长度为 2 或 1。]

10. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，点 $ D $，$ E $ 分别为 $ AB $，$ AC $ 的中点，点 $ H $ 在线段 $ CE $ 上，连接 $ BH $，点 $ G $，$ F $ 分别为 $ BH $，$ CH $ 的中点。
(1) 求证：四边形 $ DEFG $ 为平行四边形；
(2) 若 $ DG \perp BH $，$ BD = 3 $，$ EF = 2 $，求线段 $ BG $ 的长度。

(1) $ \because$ 点 $D$，$E$ 分别为 $AB$，$AC$ 的中点，$\therefore DE // BC$，$DE = \frac{1}{2} BC$。$\because$ 点 $G$，$F$ 分别为 $BH$，$CH$ 的中点，$\therefore GF // BC$，$GF = \frac{1}{2} BC$。$\therefore GF // DE$，$GF = DE$。$\therefore$ 四边形 $DEFG$ 为平行四边形。
(2) $ \because$ 四边形 $DEFG$ 为平行四边形，$\therefore DG = EF = 2$。$\because DG \perp BH$，$\therefore \angle DGB = 90^{\circ}$。$\because BD = 3$，$\therefore BG = \sqrt{BD^{2} - DG^{2}} = \sqrt{3^{2} - 2^{2}} = $$\sqrt{5}$。

答案：
(1) $ \because$ 点 $D$，$E$ 分别为 $AB$，$AC$ 的中点，$\therefore DE // BC$，$DE = \frac{1}{2} BC$。$\because$ 点 $G$，$F$ 分别为 $BH$，$CH$ 的中点，$\therefore GF // BC$，$GF = \frac{1}{2} BC$。$\therefore GF // DE$，$GF = DE$。$\therefore$ 四边形 $DEFG$ 为平行四边形。
(2) $ \because$ 四边形 $DEFG$ 为平行四边形，$\therefore DG = EF = 2$。$\because DG \perp BH$，$\therefore \angle DGB = 90^{\circ}$。$\because BD = 3$，$\therefore BG = \sqrt{BD^{2} - DG^{2}} = \sqrt{3^{2} - 2^{2}} = \sqrt{5}$。