《2025年快乐暑假黄山书社八年级数学沪科版》

11. 如图,把两个形状和大小完全相同的矩形拼成如图所示的“L”形,连接AF,AC,CF,试判断△AFC的形状,并说明理由.

△AFC的形状为等腰直角三角形，理由如下：
$ \because $ 矩形 $ ABCD $ 与矩形 $ AGFE $ 的形状和大小完全一样，$ \therefore AE = BC $，$ EF = AB $，$ \angle E = \angle B = 90^\circ $，$ \therefore \triangle AEF \cong \triangle CBA $，$ \therefore AF = CA $，$ \angle 1 = \angle 2 $。$ \because \angle B = 90^\circ $，$ \therefore \angle 2 + \angle 3 = 90^\circ $，$ \therefore \angle 1 + \angle 3 = 90^\circ $，$ \therefore \angle FAC = 90^\circ $，$ \triangle AFC $ 是等腰直角三角形。

答案： $ \because $ 矩形 $ ABCD $ 与矩形 $ AGFE $ 的形状和大小完全一样，$ \therefore AE = BC $，$ EF = AB $，$ \angle E = \angle B = 90^\circ $，$ \therefore \triangle AEF \cong \triangle CBA $，$ \therefore AF = CA $，$ \angle 1 = \angle 2 $。$ \because \angle B = 90^\circ $，$ \therefore \angle 2 + \angle 3 = 90^\circ $，$ \therefore \angle 1 + \angle 3 = 90^\circ $，$ \therefore \angle FAC = 90^\circ $，$ \triangle AFC $ 是等腰直角三角形。

12. 如图,延长平行四边形ABCD的边DC至点E,使DC=CE.连接AE,AE与BC交于点O.
(1) 当∠EAD满足什么条件时,四边形ABEC为菱形?
答：当∠EAD=90°时，四边形ABEC为菱形.
(2) 求证:当∠AOC=2∠D时,四边形ABEC为矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC//AD，∠BCE=∠D.由(1)可知，四边形ABEC是平行四边形，∴OA=OE，OB=OC.∵∠AOC=∠OEC+∠BCE，∠AOC=2∠D，∴∠OEC=∠D，∠OEC=∠BCE，∴OC=OE，∴AE=BC，∴平行四边形ABEC是矩形.

答案：
(1) 当 $ \angle EAD = 90^\circ $ 时，四边形 $ ABEC $ 为菱形。理由如下：$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，$ \therefore AB // CD $，$ AD // BC $，$ AB = CD $，$ \because DC = CE $，$ \therefore AB = CE $，$ \therefore $ 四边形 $ ABEC $ 是平行四边形。$ \because AD // BC $，$ \therefore \angle EOC = \angle EAD = 90^\circ $，$ \therefore AE \perp BC $，$ \therefore $ 平行四边形 $ ABEC $ 为菱形。
(2) 证明：$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，$ \therefore BC // AD $，$ \angle BCE = \angle D $。由
(1) 可知，四边形 $ ABEC $ 是平行四边形，$ \therefore OA = OE $，$ OB = OC $。$ \because \angle AOC = \angle OEC + \angle BCE $，$ \angle AOC = 2\angle D $，$ \therefore \angle OEC = \angle D $，$ \therefore AE = AD $，$ \therefore AE = BC $，$ \therefore $ 平行四边形 $ ABEC $ 是矩形。

13. 如图,在矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE与BA,两延长线交于点F,连接AC,DF.
(1) 求证:四边形ACDF是平行四边形;
证明:利用矩形的性质，可判定 $ \triangle FAE \cong \triangle CDE $，从而得到 $ CD = FA $。再根据 $ CD // AF $，即可得出四边形 $ ACDF $ 是平行四边形。
(2) 当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.
BC与CD的数量关系为BC=2CD。理由：$ \because CF $ 平分 $ \angle BCD $，$ \therefore \angle DCE = \angle BCE = 45^\circ $，$ \therefore \triangle CDE $ 是等腰直角三角形，$ \therefore CD = DE $。又点 $ E $ 是 $ AD $ 的中点，$ \therefore AD = 2DE = 2CD $。$ \because AD = BC $，$ \therefore BC = 2CD $。

答案：
(1) 利用矩形的性质，可判定 $ \triangle FAE \cong \triangle CDE $，从而得到 $ CD = FA $。再根据 $ CD // AF $，即可得出四边形 $ ACDF $ 是平行四边形。
(2) $ \because CF $ 平分 $ \angle BCD $，$ \therefore \angle DCE = \angle BCE = 45^\circ $，$ \therefore \triangle CDE $ 是等腰直角三角形，$ \therefore CD = DE $。又点 $ E $ 是 $ AD $ 的中点，$ \therefore AD = 2DE = 2CD $。$ \because AD = BC $，$ \therefore BC = 2CD $。