《2025年快乐暑假黄山书社八年级数学沪科版》

11. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，$DE// AC,CE// BD$.
(1) 求证：四边形OCED是菱形；
(2) 若$BC=3,DC=2$，求四边形OCED的面积.

答案：
11.
(1) $ \because DE // AC $, $ CE // BD $, $ \therefore $ 四边形 OCED 是平行四边形.又在矩形 ABCD 中, $ OC = OD $, $ \therefore $ 平行四边形 OCED 是菱形.
(2) $ S_{矩形ABCD} = BC \cdot DC = 3 \times 2 = 6 $, $ \therefore S_{\triangle OCD} = \frac{1}{4}S_{矩形ABCD} = \frac{1}{4} \times 6 = \frac{3}{2} $, $ \therefore S_{菱形OCED} = 2S_{\triangle OCD} = 2 \times \frac{3}{2} = 3 $.

12. 如图，已知点D在$△ABC$的BC边上，$DE// AC$交AB于点E，$DF// AB$交AC于点F.
(1) 求证：$AE=DF$；
证明：$ \because DE // AC $, $ DF // AB $, $ \therefore $ 四边形 AEDF 是平行四边形, $ \therefore AE = DF $.
(2) 若AD平分$∠BAC$，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由.
四边形AEDF是菱形.理由如下:$ \because DE // AC $, $ DF // AB $, $ \therefore $ 四边形 AEDF 是平行四边形.∵ AD 平分 $ \angle BAC $, $ \therefore \angle DAB = \angle DAC $.又 $ \because DF // AB $, $ \therefore \angle DAB = \angle ADF $, $ \therefore \angle DAF = \angle ADF $, $ \therefore DF = AF $, $ \therefore $ 平行四边形 AEDF 为菱形.

答案： 12.
(1) $ \because DE // AC $, $ DF // AB $, $ \therefore $ 四边形 AEDF 是平行四边形, $ \therefore AE = DF $.
(2)四边形 AEDF 是菱形.理由如下: $ \because DE // AC $, $ DF // AB $, $ \therefore $ 四边形 AEDF 是平行四边形.
∵ AD 平分 $ \angle BAC $, $ \therefore \angle DAB = \angle DAC $.又 $ \because DF // AB $, $ \therefore \angle DAB = \angle ADF $, $ \therefore \angle DAF = \angle ADF $, $ \therefore DF = AF $, $ \therefore $ 平行四边形 AEDF 为菱形.

13. 如图，在$△ABC$中，D是AB上一点，$DE⊥AC$于点E，F是AD的中点，$FG⊥BC$于点G，与DE交于点H，若$FG=AF$，AG平分$∠CAB$，连接GE，GD.
(1) 求证：$△ECG\cong △GHD$；
证明：$ \because AF = FG $, $ \therefore \angle GAF = \angle AGF $,又 AG 平分 $ \angle CAB $, $ \therefore \angle GAF = GAE $, $ \therefore \angle AGF = \angle GAE $, $ \therefore FG // AE $, $ \therefore \angle FHE = 90^{\circ} $.又 $ AF = FD $, $ \therefore EH = HD $, $ \therefore FH $ 是 ED 的垂直平分线, $ \therefore EG = DG $.而四边形 ECGH 是矩形, $ \therefore EC = GH $, $ \therefore Rt\triangle ECG \cong Rt\triangle GHD $.
(2) 小亮同学经过探究发现：$AD=AC+EC$.请你帮助小亮同学证明这一结论；
证明：如题图,过点 G 作 $ GP \perp AB $ 于点 P, $ \therefore \triangle CAG \cong \triangle PAG $, $ \therefore AC = AP $, $ GC = GP $.由(1) 可得 $ EG = DG $, $ \therefore Rt\triangle ECG \cong Rt\triangle DPG $, $ \therefore EC = DP $, $ \therefore AD = AP + PD = AC + EC $.
(3) 若$∠B=30^{\circ }$，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由.
解：四边形AEGF是菱形，理由如下：$ \because \angle B = 30^{\circ} $, $ \therefore \angle ADE = 30^{\circ} $, $ \therefore AE = \frac{1}{2}AD $, $ \therefore AE = AF = FG $.又四边形 AEGF 是平行四边形, $ \therefore $ 四边形 AEGF 是菱形.

答案： 13.
(1) $ \because AF = FG $, $ \therefore \angle GAF = \angle AGF $,又 AG 平分 $ \angle CAB $, $ \therefore \angle GAF = GAE $, $ \therefore \angle AGF = \angle GAE $, $ \therefore FG // AE $, $ \therefore \angle FHE = 90^{\circ} $.又 $ AF = FD $, $ \therefore EH = HD $, $ \therefore FH $ 是 ED 的垂直平分线, $ \therefore EG = DG $.而四边形 ECGH 是矩形, $ \therefore EC = GH $, $ \therefore Rt\triangle ECG \cong Rt\triangle GHD $.
(2)如题图,过点 G 作 $ GP \perp AB $ 于点 P, $ \therefore \triangle CAG \cong \triangle PAG $, $ \therefore AC = AP $, $ GC = GP $.由
(1) 可得 $ EG = DG $, $ \therefore Rt\triangle ECG \cong Rt\triangle DPG $, $ \therefore EC = DP $, $ \therefore AD = AP + PD = AC + EC $.
(3) $ \because \angle B = 30^{\circ} $, $ \therefore \angle ADE = 30^{\circ} $, $ \therefore AE = \frac{1}{2}AD $, $ \therefore AE = AF = FG $.又四边形 AEGF 是平行四边形, $ \therefore $ 四边形 AEGF 是菱形.