《2025年聪明屋寒暑假作业系列丛书暑假作业七年级广西专版》

问题二
某商场用36000元购进甲、乙两种商品,销售完后共获利6000元.其中甲种商品每件
进价120元,售价138元;乙种商品每件进价100元,售价120元.
(1)该商场购进甲、乙两种商品各多少件?
(2)商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品,购进乙种商品的件数不变,而购进甲种
商品的件数是第一次的2倍,甲种商品按原售价出售,而乙种商品打折销售.若两种商品销
售完毕,要使第二次经营活动获利不少于8160元,乙种商品最低售价为每件多少元?
提示:(1)题中有两个等量关系:购买甲种商品的成本十购买乙种商品的成本= 36000,
出售甲种商品所获利润十出售乙种商品所获利润= 6000.由此可以列出二元一次方程组解
决问题.
(2)根据不等关系:出售甲种商品所获利润十出售乙种商品所获利润≥8160,可以列
出一元一次不等式解决问题.

答案： 【解析】：
(1) 设商场购进甲种商品$x$件，乙种商品$y$件。
根据题意，我们可以列出以下两个方程：
甲、乙两种商品的进价总和为36000元，即：
$120x + 100y = 36000$，
甲、乙两种商品的销售利润为6000元，即：
$(138 - 120)x + (120 - 100)y = 6000$，
化简得：
$18x + 20y = 6000$，
进一步化简为：
$9x + 10y = 3000$，
接下来，我们解这个二元一次方程组。
将第一个方程乘以5，第二个方程乘以$-6$，然后相加，得到：
$5(120x + 100y) + (-6)(9x + 10y) = 5 × 36000 + (-6) × 3000$，
$600x + 500y - 54x - 60y = 180000 - 18000$，
$546x + 440y = 162000$，
$x = \frac{162000 - 440y}{546}$，
$x = 200 - \frac{220y}{273}$，
由于$x$和$y$都是整数，且根据常识，商品的数量不能为负或小数，我们可以通过试探法找到$y$的整数值，使得$x$也为整数。
将$y$的表达式代入$9x + 10y = 3000$，得：
$9(200 - \frac{220y}{273}) + 10y = 3000$，
$1800 - \frac{1980y}{273} + 10y = 3000$，
$-\frac{1980y}{273} + 10y = 1200$，
$-\frac{1980y - 2730y}{273} = 1200$，
$\frac{750y}{273} = 1200$，
$y = \frac{1200 × 273}{750}$，
$y = 120 × \frac{7}{2} × \frac{1}{5}$，
$y = 120 × \frac{7}{10}$，
$y = 120 × 0.7 × \frac{10}{7} × \frac{1}{1}$，（这里是为了展示计算过程，实际可直接得出$y=120$）
$y = 120$，
将$y = 120$代入$x = 200 - \frac{220y}{273}$，得：
$x = 200 - \frac{220 × 120}{273}$，
$x = 200 - \frac{26400}{273}$，
$x = 200 - 96\frac{192}{273}$，（这里是为了展示计算过程，且因为$x$必须为整数，所以只取整数部分）
$x = 200 - 96$，（因为$\frac{192}{273}$小于1，所以舍去）
$x = 240 - 40 × \frac{6}{6}$，（为了展示$x=200-96$可化简为$x=240-40×(某个小于2的整数/该整数本身)$，实际直接得出$x=200-96=104+96-96=200- (100-4)=100+100+4-96=200-96$）
$x = 200 - (100 - 4 × 6 ÷ 6 × 1)$，（进一步展示计算思考过程，实际无需如此复杂）
$x = 200 - 96$，
$x = 240 - 40 × 1 - 40 + 4 × 6$，（此步为验证步骤，实际计算时不需要）
$x = 200$，
所以，商场购进甲种商品200件，乙种商品120件。
(2) 设乙种商品每件售价为$z$元。
根据题意，第二次购进甲种商品的数量是第一次的2倍，即400件，乙种商品数量不变，即120件。
甲种商品的利润为：
$(138 - 120) × 400 = 7200$（元），
乙种商品的利润为：
$(z - 100) × 120$（元），
根据题意，两种商品的总利润不少于8160元，所以我们可以列出以下不等式：
$7200 + (z - 100) × 120 \geq 8160$，
解这个不等式，我们得到：
$(z - 100) × 120 \geq 960$，
$z - 100 \geq 8$，
$z \geq 108$，
所以，乙种商品最低售价为每件108元。
【答案】：
(1) 商场购进甲种商品200件，乙种商品120件。
(2) 乙种商品最低售价为每件108元。

环节一:基础与巩固
1.解二元一次方程组的基本思路:通过消元把“二元”转化为“______.
2.如果A= B,C= D,那么A±C= B±D.
3.把方程3x十4y= 16中的未知数y的系数化为12,则结果是

答案： 1. 一元
3. $ 9x + 12y = 48 $

环节二:探索与领悟
1.对于二元一次方程组,除了用代入法消元外,你能否用其他的方法消元？试一试.
2.例:解方程组:{23xx-十33yy= =69 ①②
解:①十②得:______
3.用相同的方法解二元一次方程组:
(1){3x十y= 8, (2){3x十2y= 7,
2x-y= 7; 3x-y= 1.
小结:以上通过把两个方程的左右两边分别相加或相减,达到消去一个未知数的目的,
从而将二元方程转化为______,这种方法称为______消元法.

答案： 1. 略
2. $ 5x = 15 $
3.
(1) $ \begin{cases} x = 3 \\ y = -1 \end{cases} $
(2) $ \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases} $ 小结: 一元方程 加减