《2025年聪明屋寒暑假作业系列丛书暑假作业七年级广西专版》

问题三
如下图,直线$CD与直线AB相交于C$,根据下列语句画图。
(1)过点$P作PQ // CD$,交$AB于点Q$；
(2)过点$P作PR \perp CD$,垂足为$R$；
(3)若$\angle DCB = 120^{\circ}$,猜想$\angle PQC$是多少度,并说明理由。

答案： 【解析】：
本题主要考查了平行线的性质以及垂线的作法。
(1) 对于“过点$P$作$PQ // CD$，交$AB$于点$Q$”的语句，需要使用直尺和圆规，首先确定点$P$的位置，然后作一条与直线$CD$平行的直线，该直线与直线$AB$相交于点$Q$。
(2) 对于“过点$P$作$PR \perp CD$，垂足为$R$”的语句，同样使用直尺和圆规，过点$P$作一条与直线$CD$垂直的直线，该直线与直线$CD$相交于点$R$，即垂足。
(3) 对于“若$\angle DCB = 120^{\circ}$，猜想$\angle PQC$是多少度，并说明理由”的问题，可以利用平行线的性质来解答。
由于$PQ // CD$，根据平行线的同位角性质，有$\angle PQC = 180^{\circ} - \angle DCB = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$（同旁内角互补）。
【答案】：
(1) 图略（过点$P$作$PQ // CD$，交$AB$于点$Q$）；
(2) 图略（过点$P$作$PR \perp CD$，垂足为$R$）；
(3) $\angle PQC = 60^{\circ}$。
理由：由于$PQ // CD$，根据平行线的同旁内角互补性质，有$\angle PQC = 180^{\circ} - \angle DCB = 60^{\circ}$。

1. 若$\angle 1和\angle 2$互余,则______。
若$\angle 1和\angle 2$互补,则______。
2. 有一条公共边,而且另一边互为反向延长线的两个角互为______。如右图中的______和______。
如果两个角有一个公共顶点,而且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,那么这两个角互为______。如右图中的______和______。
3. 对顶角的性质：______。
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答案： 1. $\angle 1+\angle 2=90^{\circ}$；$\angle 1+\angle 2=180^{\circ}$
2. 邻补角；$\angle 1$；$\angle 2$；对顶角；$\angle 3$；$\angle 4$
3. 对顶角相等

问题一 $180^{\circ} - \angle 1$ $180^{\circ} - 40^{\circ}$ $140^{\circ}$ $1$ $40^{\circ}$ $2$ $140^{\circ}$ 对顶角相等

答案： 解：
∵∠1与∠2是邻补角，∠1=40°
∴∠2=180° - ∠1=180° - 40°=140°
∵∠1与∠3是对顶角
∴∠3=∠1=40°（对顶角相等）
∵∠2与∠4是对顶角
∴∠4=∠2=140°（对顶角相等）
结论：∠3=40°，∠4=140°

问题二 $10$ $\frac{n(n - 1)}{2}$

答案： 【解析】：
这个问题似乎是在考察对某个数学公式或者数学表达式的理解，特别是与组合数学相关的部分。
给定的表达式 $\frac{n(n - 1)}{2}$ 实际上是计算从 $n$ 个不同项中选取 2 个的不同组合的数目，即 $C_n^2$。
在这个上下文中，它可能代表了马扎的某些角之间的连接或者配对方式。
题目给出了数字 10，可能是询问当 $n$ 为多少时，$\frac{n(n - 1)}{2}$ 等于 10。
我们需要解这个方程来找出 $n$ 的值。
【答案】：
解：
设 $\frac{n(n - 1)}{2} = 10$，
乘以 2 得 $n(n - 1) = 20$，
展开得 $n^2 - n - 20 = 0$，
因式分解得 $(n - 5)(n + 4) = 0$，
解得 $n = 5$ 或 $n = -4$，
由于 $n$ 在这个问题中很可能代表数量（如马扎的角或边的数量），所以 $n$ 必须是正数。
因此，$n = 5$。

问题三
解：(1)如图所示 (2)如图所示
(3)猜想$\angle PQC = 60^{\circ}$。
理由：$\because PQ // CD$,$\therefore \angle DCB + \angle PQC = 180^{\circ}$。
$\because \angle DCB = 120^{\circ}$,$\therefore \angle PQC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$。

答案： 【解析】：本题主要考查了平行线的性质。
根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，
已知$PQ// CD$，
所以$\angle DCB$与$\angle PQC$是同旁内角，它们的和为$180^\circ$，
又因为已知$\angle DCB=120^\circ$，
所以可以通过计算得出$\angle PQC$的度数。
【答案】：$\angle PQC = 60^{\circ}$