《2025年聪明屋寒暑假作业系列丛书暑假作业七年级广西专版》

问题一
如下图,直线$a$,$b$相交,$\angle 1 = 40^{\circ}$,求$\angle 2$,$\angle 3$,$\angle 4$的度数。
解：$\because直线a$,$b$相交,
$\therefore \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$(邻补角的定义)。
$\therefore \angle 2 = $______
$=$______
$=$______。
$\because直线a$,$b$相交,
$\therefore \angle 3 = \angle$______$=$______,
$\angle 4 = \angle$______$=$______( )。
小明：从两条直线相交想到了多条直线相交,如果许多条直线相交,那交点会有多少呢？这还真是一个难解的问题呢！

答案： 解：
∵直线a，b相交，
∴∠1 + ∠2 = 180°（邻补角的定义）。
∴∠2 = 180° - ∠1
= 180° - 40°
= 140°。
∵直线a，b相交，
∴∠3 = ∠1 = 40°，
∠4 = ∠2 = 140°（对顶角相等）。

问题二
如下图,两条直线相交,有$1$个交点；三条直线相交,最多有$3$个交点；四条直线相交,最多有$6$个交点。$5$条直线呢？$n$条直线呢？

根据你的发现填写下表：
|直线条数|2|3|4|5|…$$|$n(n \geq 2)$|
|最多交点个数|1|3|6| |…$$| |

答案： 【解析】：
首先，我们观察题目中给出的直线相交的情况，找出规律。
两条直线相交，有1个交点；
三条直线相交，最多有3个交点，即每两条直线都相交且交点不重合；
四条直线相交，最多有6个交点，即每两条直线都相交且交点不重合。
通过观察，我们可以发现，n条直线相交时，每两条直线都会有一个交点。
因此，n条直线相交最多有$\frac{n(n-1)}{2}$个交点（因为每两条直线相交于一个点，
所以交点数为从n条直线中任选两条的组合数，
即$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$）。
接下来，我们应用这个规律来填写表格。
当直线条数为5时，最多交点个数为$\frac{5 × (5-1)}{2} = \frac{5 × 4}{2} = 10$。
当直线条数为n时，最多交点个数为$\frac{n(n-1)}{2}$。
【答案】：
|直线条数|2|3|4|5|…|n(n ≥ 2)|
|---|---|---|---|---|---|---|
|最多交点个数|1|3|6|10|…|$\frac{n(n-1)}{2}$|