《2025年聪明屋寒暑假作业系列丛书暑假作业七年级广西专版》

4. 如下图,已知$AB // ED$,$\alpha = \angle A + \angle E$,$\beta = \angle B + \angle C + \angle D$。试探索$\beta与2\alpha$的数量关系,并说明你的理由。

答案： 解：$\beta=2\alpha$.
理由：过点$C$作$CF// AB$，设$CF$与$BC$的夹角为$\angle 1$，$CF$与$CD$的夹角为$\angle 2$，则$\angle C=\angle 1+\angle 2$.
$\because AB// ED$，
$\therefore \angle A+\angle E=180^{\circ}$，即$\alpha=180^{\circ}$.
$\because AB// ED$，$CF// AB$，
$\therefore CF// ED$.
$\because CF// AB$，
$\therefore \angle B+\angle 1=180^{\circ}$.
$\because CF// ED$，
$\therefore \angle 2+\angle D=180^{\circ}$.
$\therefore (\angle B+\angle 1)+(\angle 2+\angle D)=180^{\circ}+180^{\circ}=360^{\circ}$.
$\because \beta=\angle B+\angle C+\angle D=\angle B+\angle 1+\angle 2+\angle D$，
$\therefore \beta=360^{\circ}$.
$\because \alpha=180^{\circ}$，
$\therefore \beta=2\alpha$.

有$10$条公路(假设公路是笔直的,并且可以无限延伸),无任何三条公路交于同一个岔口。现有$31$名交警,刚好满足每个岔口有且只有一名交警执勤,请你画出公路示意图。
【思维导航】我们可以把公路想象成直线,岔口想象成交点。由警察的人数及题意可知,$10条直线刚好有31$个交点。根据所学知识,平面上的$10$条直线,若两两相交,最多出现$45$个交点,现在只要求出现$31$个交点,就要减去$14$个交点,这种情况下,通常采取两种办法：①多条直线共点；②出现平行线。
根据题意,方法①不能实现,所以想到使用平行线。在某一方向上有$5$条直线互相平行,则减少$10$个交点；若$6$条直线平行,则可减少$15$个交点,所以这个方向上最多可取$5$条平行线。这时还有$4$个点要去掉,换一个方向取$3$条平行线,即可再减少$3$个交点。这时还剩下$2条直线与1$个要减去的点,只需让其在第三个方向上互相平行即可,如右图所示。
【建议】本题考查我们对知识的综合应用能力,在做题时,要牢牢把握平行线的性质,与图形结合,从简单的图形推理找出问题的入手点。

答案： 【解析】：
本题主要考查直线相交和平行线的性质。
已知有$10$条公路（直线），无任何三条公路交于同一个岔口（交点），且现有$31$名交警刚好满足每个岔口有且只有一名交警执勤，即$10$条直线有$31$个交点。
根据直线相交的知识，平面上的$n$条直线，若两两相交，最多出现的交点数为$\frac{n(n - 1)}{2}$。
当$n = 10$时，最多出现的交点数为$\frac{10×(10 - 1)}{2}=\frac{10×9}{2}=45$个。
现在要求出现$31$个交点，需要减少的交点数为$45 - 31 = 14$个。
减少交点数通常有两种办法：一是多条直线共点，但根据题意“无任何三条公路交于同一个岔口”，所以这种方法不能实现；二是出现平行线。
设某一方向上有$x$条直线互相平行，则减少的交点数为$\frac{x(x - 1)}{2}$。
若$x = 5$，则减少的交点数为$\frac{5×(5 - 1)}{2}=\frac{5×4}{2}=10$个；
若$x = 6$，则减少的交点数为$\frac{6×(6 - 1)}{2}=\frac{6×5}{2}=15$个，所以这个方向上最多可取$5$条平行线。
此时还需要减少$14 - 10 = 4$个交点。
再换一个方向取$y$条平行线，若$y = 3$，则可再减少$\frac{3×(3 - 1)}{2}=\frac{3×2}{2}=3$个交点。
这时还剩下$10 - 5 - 3 = 2$条直线与$1$个要减去的点，只需让这$2$条直线在第三个方向上互相平行，且与前面的平行线不平行，即可满足条件。
【答案】：
图略（按照上述分析，画出$10$条直线，其中某一方向上有$5$条直线互相平行，另一个方向上有$3$条直线互相平行，剩下$2$条直线在第三个方向上互相平行，且满足无任何三条直线交于同一点，共$31$个交点）。