《2025年聪明屋寒暑假作业系列丛书暑假作业七年级广西专版》

示例二:有甲、乙、丙三种货物,购甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元,购甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元.现计划购甲、乙、丙各1件,共需多少元?
解析:要求的未知数是三个(设为$x$,$y$,$z$),而题设条件中只有两个等量关系,要把甲、乙、丙各1件的钱数求出来是不可能的.由于我们感兴趣的不是$x$,$y$,$z$的值,而是$x + y + z$这个整体的值,如果我们把购甲、乙、丙各1件的钱数之和看成一个整体,那么就会目标明确,直奔主题,收到事半功倍的效果.
解:设购甲、乙、丙各1件分别需$x$元、$y$元、$z$元.
依题意,得$\begin{cases}3x + 7y + z = 3.15,\\4x + 10y + z = 4.20,\end{cases} 即\begin{cases}2(x + 3y) + (x + y + z) = 3.15,\\3(x + 3y) + (x + y + z) = 4.20,\end{cases} $
解关于$x + 3y与x + y + z$的方程组,可得$x + y + z = 1.05$.
即购甲、乙、丙各1件,共需1.05元.

答案： 解：设购甲、乙、丙各1件分别需$x$元、$y$元、$z$元。
依题意，得$\begin{cases}3x + 7y + z = 3.15 \\ 4x + 10y + z = 4.20\end{cases}$
将方程组变形为$\begin{cases}2(x + 3y) + (x + y + z) = 3.15 \\ 3(x + 3y) + (x + y + z) = 4.20\end{cases}$
设$a = x + 3y$，$b = x + y + z$，则$\begin{cases}2a + b = 3.15 \\ 3a + b = 4.20\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：$3a + b - (2a + b) = 4.20 - 3.15$，解得$a = 1.05$
将$a = 1.05$代入$2a + b = 3.15$，得$2×1.05 + b = 3.15$，解得$b = 1.05$
即$x + y + z = 1.05$
答：购甲、乙、丙各1件共需1.05元。

示例三:如右图,在高2m,底宽4m,表面宽2m的楼梯表面铺地毯,则地毯的表面积至少是______$m^{2}$.
解析:这个问题中,图形显得较为复杂,实际上地毯的面积就是一个矩形的面积,而这个矩形的宽为2m,长就是图中直角三角形两直角边的和,即$2 + 4 = 6(m)$,所以地毯的面积为12$m^{2}$.
提示:为研究立体图形的某些特性,如表面积问题、沿表面行走路径最短问题、包装问题、裁剪问题、制作问题等,我们常常视立体图形为一个整体,将其展开变为平面图形,通过对平面图形的研究达到解决立体几何问题的目的.
思想提炼:整体思想是初中阶段较为重要的数学思想.在学习中,强化整体思想观念,灵活选择恰当的整体,不仅使解题过程简捷明了,而且富有创造性.

答案： 【解析】：
本题考查数形结合思想与整体思想在几何问题中的应用。
将楼梯的表面展开，可以得到一个矩形。
这个矩形的宽就是楼梯的高度和宽度中的较小值，即$2m$。
矩形的长则是楼梯的斜边在水平方向和垂直方向上的投影长度之和，即$2+4=6m$。
根据矩形的面积公式：
面积$=$长$×$宽。
代入已知的长和宽的值，得到：
面积$=6×2=12m^2$。
【答案】：
$12$。