《2025年聪明屋寒暑假作业系列丛书暑假作业七年级广西专版》

1. 如下图,$AB // CD$,$AE交CD于点C$,$DE \perp AE$,垂足为$E$,$\angle A = 37^{\circ}$,求$\angle D$的度数。

答案： 解：$\because AB // CD$，$\angle A = 37^{\circ}$，
$\therefore \angle ECD = \angle A = 37^{\circ}$（两直线平行，同位角相等）。
$\because DE \perp AE$，
$\therefore \angle DEC = 90^{\circ}$（垂直的定义）。
在$\triangle DEC$中，$\angle D + \angle ECD + \angle DEC = 180^{\circ}$（三角形内角和定理），
$\therefore \angle D = 180^{\circ} - \angle DEC - \angle ECD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 37^{\circ} = 53^{\circ}$。

2. 如下图,直线$AD与AB$,$CD分别相交于点A$,$D$,$EC$,$BF分别与AB$,$CD相交于E$,$C$,$B$,$F$。如果$\angle 1 = \angle 2$,$\angle B = \angle C$,求证：$\angle A = \angle D$。

答案： 证明：$\because \angle 1 = \angle 2$，且$\angle 2 = \angle AGB$（对顶角相等），
$\therefore \angle 1 = \angle AGB$，
$\therefore EC // BF$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore \angle C = \angle BFD$（两直线平行，同位角相等）。
又$\because \angle B = \angle C$，
$\therefore \angle B = \angle BFD$，
$\therefore AB // CD$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore \angle A = \angle D$（两直线平行，内错角相等）。

3. 如下图,$AB \perp CD$,垂足为$O$,$EF经过点O$,$\angle 2 = 4\angle 1$,求$\angle 2$,$\angle 3$,$\angle BOE$的度数。

答案： 解：$\because AB \perp CD$，
$\therefore \angle COB = 90^\circ$，即$\angle 1 + \angle 2 = 90^\circ$。
$\because \angle 2 = 4\angle 1$，
$\therefore \angle 1 + 4\angle 1 = 90^\circ$，解得$\angle 1 = 18^\circ$。
$\therefore \angle 2 = 4\angle 1 = 4 × 18^\circ = 72^\circ$。
$\because \angle 3$与$\angle 1$是对顶角，
$\therefore \angle 3 = \angle 1 = 18^\circ$。
$\because \angle BOE + \angle 1 = 180^\circ$（平角定义），
$\therefore \angle BOE = 180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - 18^\circ = 162^\circ$。
答：$\angle 2 = 72^\circ$，$\angle 3 = 18^\circ$，$\angle BOE = 162^\circ$。