《2025年聪明屋寒暑假作业系列丛书暑假作业七年级广西专版》

示例一:如右图,$AB// CD$,$∠1= ∠B$,$∠2= ∠D$,试证明$BE⊥DE$.
证明:过点$E作EF// AB$.
$\because AB// CD$,$\therefore EF// CD$.
$\therefore ∠4= ∠D$.
$\because ∠2= ∠D$.
$\therefore ∠2= ∠4$.
同理$EF// AB$,$∠1= ∠B$,可得$∠1= ∠3$.
$\because ∠1+∠2+∠3+∠4= 180^{\circ}$.
$\therefore 2(∠3+∠4)= 180^{\circ}$.
$\therefore ∠3+∠4= 90^{\circ}$.
$\therefore BE⊥DE$.
提示:本题是同学们初学几何时感觉较复杂的题,通常是过拐角处的点作辅助线,把一个大角分为两个小角,分别与两个已知角建立联系,这种转化在解题时经常用到.

答案： 【解析】：
本题主要考查了平行线的性质以及垂直的定义，通过作辅助线，将一个大角分为两个小角，分别与两个已知角建立联系，利用平行线的性质和角度的计算来证明$BE\perp DE$。
1. 首先，过点$E$作$EF// AB$，这是解题的关键辅助线，目的是将$\angle BED$进行拆分，以便与已知角建立联系。
2. 因为$AB// CD$，根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，所以$EF// CD$。
3. 再根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle 4 = \angle D$，又已知$\angle 2 = \angle D$，所以$\angle 2 = \angle 4$；同理，因为$EF// AB$，$\angle 1 = \angle B$，可得$\angle 1 = \angle 3$。
4. 由于平角的定义，$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ}$，将$\angle 1 = \angle 3$，$\angle 2 = \angle 4$代入可得$2(\angle 3 + \angle 4) = 180^{\circ}$，进而得出$\angle 3 + \angle 4 = 90^{\circ}$，即$\angle BED = 90^{\circ}$，根据垂直的定义，可证明$BE\perp DE$。
【答案】：
证明：过点$E$作$EF// AB$。
$\because AB// CD$，
$\therefore EF// CD$。
$\therefore \angle 4 = \angle D$。
$\because \angle 2 = \angle D$，
$\therefore \angle 2 = \angle 4$。
同理$EF// AB$，$\angle 1 = \angle B$，可得$\angle 1 = \angle 3$。
$\because \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ}$，
$\therefore 2(\angle 3 + \angle 4) = 180^{\circ}$。
$\therefore \angle 3 + \angle 4 = 90^{\circ}$。
$\therefore BE\perp DE$。

示例二:已知$\frac {1}{a}+\frac {1}{b}= 4$,则$\frac {a-3ab+b}{2a+2b-7ab}= $____.
解析一:式子$\frac {a-3ab+b}{2a+2b-7ab}$的分子、分母同除以$ab$,
得,$\frac {\frac {1}{b}-3+\frac {1}{a}}{\frac {2}{b}+\frac {2}{a}-7}= \frac {4-3}{8-7}= 1$.
解析二:等式$\frac {1}{a}+\frac {1}{b}= 4两边同乘以ab$,得$a+b= 4ab$.
$\therefore$ 式子$\frac {a-3ab+b}{2a+2b-7ab}= \frac {4ab-3ab}{8ab-7ab}= \frac {ab}{ab}= 1$.
提示:在这个问题中,我们无法求得$a$,$b$的值,因此我们用"将字母的值代入求值"的直接方法是行不通的,只能换个角度,用转化思想来解决.
思想提炼:转化思想的特点是处理方法灵活性多样.在应用转化思想解决数学问题时,没有一个统一的模式去操作,它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转化.学好、用好转化思想,可以使问题解决的过程省时省力,有如顺水推舟.
消元法、换元法、数形结合法等都体现了转化思想.通过两个例题的学习可以看出,转化思想就是要求同学们换一个角度去看、换一种方式去想、换一种语言去讲、换一种观点去处理,使问题朝着有利于解决问题的方向不断变更,从而使复杂问题简单化、陌生问题熟悉化、抽象问题具体化.

答案： 解：由$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 4$，等式两边同乘以$ab$，得$b + a = 4ab$，即$a + b = 4ab$。
则$\frac{a - 3ab + b}{2a + 2b - 7ab} = \frac{(a + b) - 3ab}{2(a + b) - 7ab}$，将$a + b = 4ab$代入，得$\frac{4ab - 3ab}{2×4ab - 7ab} = \frac{ab}{8ab - 7ab} = \frac{ab}{ab} = 1$。
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答案：1