《2025年新课标同步单元练习八年级数学下册北师大版深圳专版》

7. 已知关于$x$的分式方程$\frac{2}{x + 1}-\frac{9 - m}{x^{2}-1}=\frac{3}{1 - x}$.
(1)当$m = - 2$时，求这个分式方程的解.
(2)小明认为当$m = 3$时，原分式方程无解，你认为小明的结论正确吗？请判断并说明理由.

答案： 解：
(1)去分母，得 $2(x - 1)-(9 - m)= - 3(x + 1)$， 当$m = - 2$时，上式化为$5x = 10$， 解得$x = 2$， 经检验，$x = 2$是原分式方程的解.
(2)小明的结论正确，理由如下： 去分母，得$2(x - 1)-(9 - m)= - 3(x + 1)$， 当$m = 3$时，上式化为$5x = 5$， 解得$x = 1$， 经检验，$x = 1$是原分式方程的增根，故原分式方程无解， 所以小明的结论正确.

1. 用换元法解方程$\frac{x^{2}-1}{x}-\frac{2x}{x^{2}-1}=3$时，如果设$\frac{x^{2}-1}{x}=y$，那么原方程可化为关于$y$的整式方程是__________.

答案： $y^{2}-3y - 2 = 0$

2. 若关于$x$的分式方程$\frac{2x - a}{3x - 2}=\frac{1}{3}$的解为非负数，则$a$的取值范围是( ).
A. $a\geqslant\frac{2}{3}$
B. $a＞\frac{2}{3}$
C. $a\geqslant\frac{2}{3}$且$a\neq\frac{4}{3}$
D. $a＞\frac{2}{3}$且$a\neq\frac{4}{3}$

答案： C

3. 已知关于$x$的分式方程$\frac{2}{x - 2}+\frac{mx}{x^{2}-4}=\frac{2}{x + 2}$.
(1)若方程的增根为$x = 2$，求$m$的值；
(2)若方程有增根，求$m$的值；
(3)若方程无解，求$m$的值.

答案： 解：
(1)去分母，得$2(x + 2)+mx = 2(x - 2)$， 整理，得$mx = - 8$， 若原分式方程的增根为$x = 2$，则$2m = - 8$. 解得$m = - 4$.
(2)若原分式方程有增根，则$(x + 2)(x - 2)=0$. 所以$x = - 2$或$x = 2$. 当$x = - 2$时，$-2m = - 8$，解得$m = 4$. 当$x = 2$时，$2m = - 8$，解得$m = - 4$. 所以若原分式方程有增根，则$m = 4$或$m = - 4$.
(3)由
(2)知，当$m=\pm4$时，原分式方程有增根，即无解； 去分母后的整式方程为$mx = - 8$， 当$m = 0$时，$x$无意义，即无解. 综上知，若原分式方程无解，则$m=\pm4$或$m = 0$.