《2025年新课标同步单元练习八年级数学下册北师大版深圳专版》

2. 阅读下列因式分解的过程，回答所提出的问题.
$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 = (1 + x)[1 + x + x(x + 1)] = (1 + x)^2(1 + x) = (1 + x)^3$．
（1）上述因式分解的方法是________，共应用了________次；
（2）若因式分解$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + \cdots + x(x + 1)^{2022}$，则需应用上述方法________次，结果是________；
（3）因式分解：$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + \cdots + x(x + 1)^n$（$n$为正整数）．

答案： 提公因式法@@2@@2022@@(1 + x)²⁰²³@@(1 + x)ⁿ⁺¹

3. 已知$x$和$y$都是自然数，且有$x(x - y) - y(y - x) = 12$，求$x$和$y$的值．

答案： 解：x(x - y) - y(y - x) = (x - y)(x + y) = 12, 因为 x, y 都是自然数, 又因为 12 = 1×12 = 2×6 = 3×4, 经验证(4 - 2)×(4 + 2) = 2×6 符合条件, 所以 x = 4, y = 2.

1. 下列各式不能用平方差公式分解的是( ).
A. $a^{2}-b^{2}$
B. $-a^{2}+b^{2}$
C. $-a^{2}-1$
D. $-a^{2}+1$

答案： C

2. 下列因式分解正确的是( ).
A. $x^{2}-4y^{2}=(x + 4y)(x - 4y)$
B. $-a^{2}+b^{2}=(-a + b)(-a - b)$
C. $a^{2}+9=(a + 3)(a - 3)$
D. $4a^{2}-9=(2a + 3)(2a - 3)$

答案： D

3. 已知$a^{2}-b^{2}=8$，$a + b = 4$，则$a - b=$__________.

答案： 2

4. 因式分解：$x^{3}-x=$__________.

答案： x(x + 1)(x - 1)