《2025年新课标同步单元练习八年级数学下册北师大版深圳专版》

4. 用反证方法证明“任意三角形中不能有两个内角是钝角”的第一步是假设：__________．

答案： 存在一个三角形中有两个内角是钝角

5. 如图1-1-21，$\triangle ABC$中的$\angle ABC$的平分线$BF$与$\angle ACB$的外角$\angle ACG$的平分线$CF$相交于点$F$，过点$F$作$DF// BC$，交$AB$于点$D$，交$AC$于点$E$．
(1)求证：$\triangle DBF$，$\triangle CEF$是等腰三角形；
(2)若$BD = 8\ cm$，$DE = 3\ cm$，求$CE$的长．

答案： （1）证明：因为BF，CF分别平分∠ABC，∠ACG， 所以∠DBF = ∠CBF，∠FCE = ∠FCG. 因为DF//BC， 所以∠DFB = ∠CBF，∠EFC = ∠FCG， 所以∠DBF = ∠DFB，∠FCE = ∠EFC， 所以BD = FD，EF = CE， 所以△DBF，△CEF是等腰三角形.
（2）解：因为DF = BD， 所以EF = DF - DE = BD - DE = 8 - 3 = 5. 又因为CE = EF， 所以CE = 5 cm.

6. 如图1-1-22，点$P$是等腰三角形$ABC$的底边$BC$上的一动点，过点$P$作$BC$的垂线，交直线$AB$于点$Q$，交$CA$的延长线于点$R$．
(1)证明：$AR = AQ$．
(2)如图1-1-23，如果点$P$沿着底边$BC$所在的直线，按由$C$向$B$的方向运动到$CB$的延长线上时，(1)中所得的结论还成立吗？请你在图1-1-23中完成图形，并给予证明．

答案：
（1）证明：因为△ABC是等腰三角形， 所以AB = AC， 所以∠B = ∠C. 因为PR⊥BC， 所以∠B + ∠BQP = 90°，∠C + ∠R = 90°， 所以∠BQP = ∠R. 因为∠BQP = ∠AQR（对顶角相等）， 所以∠AQR = ∠R， 所以AR = AQ.
（2）解：AR = AQ依然成立. 证明：如答图1 - 1 - 7， 因为△ABC是等腰三角形， 所以AB = AC， 所以∠ABC = ∠C， 因为∠ABC = ∠PBQ（对顶角相等）， 所以∠C = ∠PBQ， 因为PR⊥BC， 所以∠R + ∠C = 90°，∠Q + ∠PBQ = 90°， 所以∠Q = ∠R， 所以AR = AQ.

1. 如图1-1-24，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = BD$，$AD = DC$，则$\angle BAC$的度数为_______．

图1-1-24 图1-1-25

答案： 108°

2. 如图1-1-25，已知点$D$为$\triangle ABC$内一点，$AD$平分$\angle CAB$，$BD\perp AD$，$\angle C=\angle CBD$．若$AC = 10$，$AB = 6$，则$AD$的长为_______．

答案： $4\sqrt{2}$