《2025年新课标同步单元练习八年级数学下册北师大版深圳专版》

2. 有一客轮往返于重庆和武汉之间，第一次往返航行时，长江的水流速度为$a$ km/h；第二次往返航行时，水流速度为$b$ km/h($b ＞ a$). 已知该船在两次航行中，静水速度都为$v$ km/h ($v ＞ b ＞ a$)，该船两次往返航行所花时间是否相等？若相等，请说明理由；若不相等，请分别表示出两次航行所花的时间，并指出哪次航行所花的时间要短些.

答案： 解：设两次往返航行的路程都为2s km. 第一次所用时间为$\frac{s}{v + a}+\frac{s}{v - a}=\frac{2vs}{v² - a²}$(h)， 第二次所用时间为$\frac{s}{v + b}+\frac{s}{v - b}=\frac{2vs}{v² - b²}$(h). 因为b＞a，所以b²＞a²，所以$v² - b²$＜$v² - a²$， 所以$\frac{2vs}{v² - b²}＞\frac{2vs}{v² - a²}$， 所以该船第一次往返航行所花的时间要短些.

3. 观察下列一组等式：$\frac{1}{1\times2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2\times3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3\times4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\cdots$.
解答下列问题：
(1)对于任意的正整数$n$，化简：$\frac{1}{n(n + 1)}=$________.
证明：
(2)计算：$\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\cdots+\frac{1}{2011\times2012}=$________.
解：
(3)已知$m$为正整数，化简：$\frac{1}{1\times3}+\frac{1}{3\times5}+\frac{1}{5\times7}+\cdots+\frac{1}{(2m - 1)(2m + 1)}=$________.

答案： 解：
(1)$\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$ $\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}=\frac{n + 1 - n}{n(n + 1)}=\frac{1}{n(n + 1)}$.
(2)$\frac{2011}{2012}$ $\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2011×2012}$ $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}=1-\frac{1}{2012}=\frac{2011}{2012}$.
(3)$\frac{m}{2m + 1}$ 解析：$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{(2m - 1)(2m + 1)}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2m - 1}-\frac{1}{2m + 1})=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{2m + 1})=\frac{m}{2m + 1}$.