《2025年新课标同步单元练习八年级数学下册北师大版深圳专版》

7. 如图3 - 2 - 5，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC. 若点A，D，E在同一条直线上，且∠ACB = 20°，求∠CAE及∠B的度数.

答案： 解：根据旋转的性质可知CA = CE， 且∠ACE = 90°， 所以△ACE是等腰直角三角形， 所以∠CAE = 45°。 根据旋转的性质可得∠BCD = 90°。 因为∠ACB = 20°， 所以∠ACD = 90° - 20° = 70°， 所以∠EDC = 45° + 70° = 115°， 所以∠B = ∠EDC = 115°。

1. 如图3 - 2 - 6，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为4的等边三角形，以O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA'B'，那么点A'的坐标为( ).
A.（－2，2$\sqrt{3}$） B.（－2，4）
C.（－2，2$\sqrt{2}$） D.（2，2$\sqrt{3}$）

答案： A

2. 如图3 - 2 - 7，在△ABC中，AB = 6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A₁BC₁，求图中阴影部分的面积.

答案： 解：因为在△ABC中，AB = 6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A₁BC₁， 所以△ABC≌△A₁BC₁， 所以A₁B = AB = 6， 所以△A₁BA是等腰三角形，∠A₁BA = 30°， 所以$S_{△A₁BA}$ = 1/2×6×3 = 9。 又因为$S_{阴影}$ = $S_{△A₁BA} + S_{△A₁BC₁} - S_{△ABC}$， $S_{△A₁BC₁}$ = $S_{△ABC}$， 所以$S_{阴影}$ = $S_{△A₁BA}$ = 9。

3. 如图3 - 2 - 8，两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O.
(1)在图3 - 2 - 8中，你发现线段AC，BD的数量关系是____________，直线AC，BD的位置关系是___________.
(2)将图3 - 2 - 8的△OAB绕点O顺时针旋转90°，在图3 - 2 - 9中画出旋转后的△OAB.
(3)将图3 - 2 - 8中的△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，连接AC，BD得到图3 - 2 - 10，这时(1)中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由. 若△OAB绕点O继续旋转更大的角度时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由.

答案：
解：（1）AC = BD；AC⊥BD
（2）如答图3 - 2 - 1。

（3）将题图3 - 2 - 8中的△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，（1）中的两个结论仍然成立。理由如下： 因为旋转一个锐角后，∠COA + ∠AOD = 90°，∠BOD + ∠AOD = 90°， 所以∠COA = ∠BOD。 在△COA和△DOB中， {OC = OD， ∠COA = ∠DOB， OA = OB} 所以△COA≌△DOB（SAS）， 所以AC = BD。 延长CA交OD于点H，交BD于点E，如答图3 - 2 - 2，

因为△COA≌△DOB， 所以∠OCA = ∠ODB。 又因为∠DHE = ∠CHO， 所以∠CED = ∠COD = 90°， 所以AC⊥BD。 将△OAB绕点O继续旋转更大的角度时，结论仍然成立。