《2025年新课标同步单元练习八年级数学下册北师大版深圳专版》

5. 如图1-1-12，在△ABC中，AB = AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE = CF，BD = CE.
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A = 40°时，求∠DEF的度数.

答案：
（1）证明：因为AB = AC， 所以∠B = ∠C. 在△DBE和△ECF中，
$\begin{cases}BE = CF，\\∠B = ∠C，\\BD = CE，\end{cases}$
所以△DBE≌△ECF， 所以DE = EF， 所以△DEF是等腰三角形.
（2）解：如答图1 - 1 - 4，因为 △DBE≌△ECF， 所以∠1 = ∠3. 因为∠A + ∠B + ∠C = 180°， ∠B = ∠C，∠A = 40°， 所以∠B = 1/2×(180° - 40°)= 70°， 所以∠1 + ∠2 = 110°， 所以∠3 + ∠2 = 110°， 所以∠DEF = 70°.

6. 如图1-1-13，点D，E分别在等腰三角形ABC的腰AC和BC上，AD = BE，且AE与BD相交于点F，有如下结论：①AE = BD；②∠1 = ∠2；③∠DFE+∠C = 180°；④FD = FE.
（1）上述结论正确的有________；（填序号）
（2）请选择其中一个你认为正确的结论给出证明过程.

答案：
（1）①②④
（2）证明：因为等腰三角形ABC的腰是AC和BC， 所以AC = BC，∠CAB = ∠CBA. 因为AD = BE， 所以AC - AD = BC - BE，即CD = CE. 在△ACE与△BCD中，

所以△ACE≌△BCD(SAS)， 所以∠1 = ∠2，AE = BD， 所以∠CAB - ∠1 = ∠CBA - ∠2， 即∠FAB = ∠FBA，所以FA = FB， 所以FD = FE， 故①②④得证. 结论①②④任选一个证明即可.

1. 如图1-1-14，在△ABC中，AB = AC，∠A = 55°，点P是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），则∠APC的度数的取值范围是________.

答案： 62.5°＜∠APC＜125°

2. 如图1-1-15，实线部分是由Rt△ABC经过两次折叠得到的. 首先将Rt△ABC沿高CH折叠，使点B落在斜边上的点B′处，再沿CM折叠，使点A落在CB′的延长线上的点A′处. 若图中∠ACB = 90°，BC = 15 cm，AC = 20 cm，则MB′的长为________ cm.

答案： 3

3.【基础模型】
（1）如图1-1-16，在△ABC中，AB = AC，CD⊥AB，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E. 求证：△ACD≌△ABE.
【模型拓展】
（2）在平面直角坐标系中，两条互相垂直的直线l₁与l₂都经过点M(4，3)，直线l₁与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，直线l₂与x轴交于点C，与y轴交于点D.
①如图1-1-17，若点M是线段AB的中点，求线段AC的长度；
②连接AD，如果△ABD是等腰三角形，直接写出点B的坐标.

答案：
（1）证明：因为CD⊥AB，BE⊥AC， 所以∠ADC = ∠AEB = 90°. 在△ACD与△ABE中，

所以△ACD≌△ABE(AAS).
（2）解：①如答图1 - 1 - 5，连接OM，BC，

因为M为AB的中点，∠AOB = 90°，M(4，3)， 所以OM = AM = BM = 5，OB = 6，OA = 8. 又因为AB⊥CM，AM = BM，所以AC = BC. 设AC = BC = x，则OC = 8 - x. 在Rt△OBC中，OC² + OB² = BC²， 所以(8 - x)² + 36 = x²， 所以x = 25/4，即线段AC的长度为25/4.
②如答图1 - 1 - 6，连接 OM，

则N(0，3). 当AD = BD时， 因为DM⊥AB， 所以M是AB的中点. 由①知OB = 6， 所以点B的坐标为(0，6). 当AB = BD时， 由（1）知，△BMD≌△BOA， 所以BM = BO. 设BN = x， 在Rt△BMN中，BN = x，MN = 4，BM = OB = 3 + x， 由勾股定理可知(x + 3)² = x² + 16， 所以x = 7/6，即OB = 25/6， 所以点B的坐标为(0，25/6). 当AB = AD时， 因为AO⊥BD， 所以O为BD的中点. 因为DM⊥AB， 所以∠BMD = 90°. 在Rt△BMD中，OM = OB = OD = 5， 所以点B的坐标为(0，5). 综上所述，点B坐标为(0，6)或(0，25/6)或(0，5).