《2025年新课标同步单元练习八年级数学下册北师大版深圳专版》

4. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB = 18，$S_{△ABD}$= 27，则CD的长为_______．

答案： 3

5. 如图1-4-4，在△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB于点M，AC于点N，再分别以点M，N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，下列四个结论：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC = 60°；③点D在AB的垂直平分线上；④$S_{△ACD}$：$S_{△ACB}$= 1：3. 其中正确的有_______.(填序号)

答案： ①②③④

6. 如图1-4-5，点O是BC边的中点，AO平分∠BAC，OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F．
(1)求证：AB = AC；
(2)如果$S_{△ABC}$= 14，AC = 7，求OF的长．

答案： （1）证明：因为点O是BC边的中点， 所以OB = OC. 因为AO平分∠BAC，OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F， 所以OE = OF. 在Rt△OEC和Rt△OFB中， {OE = OF， OC = OB， 所以Rt△OEC≌Rt△OFB（HL）， 所以∠B = ∠C（全等三角形的对应角相等）， 所以AB = AC（等角对等边）.
（2）解：因为AO是△ABC的中线，$S_{△ABC}$ = 14， 所以$S_{△AOC}$ = 7. 因为AC = 7， 所以由△AOC面积计算公式可得OE = 2， 所以OF = 2.

7. 如图1-4-6，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F. 求证：BE = CF.

答案：
证明：如答图1 - 4 - 1，连接BD，CD，根据垂直平分线性质可得BD = CD. 因为D为∠BAC平分线上的点，DE⊥AB，DF⊥AC， 所以DE = DF. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， {DE = DF， BD = CD， 所以Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， 所以BE = CF.