《2025年新课标同步单元练习八年级数学下册北师大版深圳专版》

6. 如图1-4-14，△ABC是等腰直角三角形，∠BCA = 90°，AC = BC，AD⊥CD，BE⊥CD，垂足分别为点D，E.
(1)求证：AD = CE.
(2)连接BD，若BE平分∠DBC.
①试判断△DBC的形状，并给出证明过程；
②若CE = 4，则△ABD的面积 = ________.

答案：
（1）证明：因为AD⊥CD，BE⊥CD，所以∠ADC = ∠BEC = 90°。因为∠ACB = 90°，所以∠ACD + ∠BCE = 90°。又因为∠ACD + ∠CAD = 90°，所以∠CAD = ∠BCE。在△ACD和△CBE中，
$\begin{cases}∠ADC = ∠CEB，\\∠CAD = ∠BCE，\\AC = CB，\end{cases}$
所以△ACD≌△CBE（AAS）。所以AD = CE。
（2）解： ①△DBC为等腰三角形。证明：如答图1 - 4 - 4，因为BE⊥CD，所以∠BEC = ∠BED = 90°。因为∠EBC = ∠EBD，∠EBC + ∠BCE = 90°，∠EBD + ∠BDC = 90°，所以∠BCD = ∠BDC，所以BD = BC，所以△DBC为等腰三角形。 ②8 解析：因为△ACD≌△CBE，所以AD = EC = 4，EB = CD = 8，所以AC = BC = √(AD² + CD²)= 4√5，所以$S_{△ADB} = S_{△ADC} + S_{△BDC} - S_{△ACB}$ = 1/2×4×8 + 1/2×8×8 - 1/2×4√5×4√5 = 8。

1. 如图1-4-15，现要在三角形地ABC内建一中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置.

答案：
如答图1 - 4 - 5，用尺规作线段AB的垂直平分线，作∠BAC的平分线，根据线段垂直平分线、角平分线性质可知两线交点即为中心医院的位置。

2. 如图1-4-16，在△ACB中，∠ACB = 90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过点P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，给出下列结论：①连接CP，CP平分∠ACB；②∠APB = 135°；③PH = PD；④BF = BA. 其中正确的是________. (填序号)

答案： ①②③④

3. 如图1-4-17，在△ABC中，AB = 5，AC = 13，BC = 12，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点D，点M，N分别在边AB，BC上，连接MN，当∠MDN = 45°时，求△BMN的周长.

答案：
解：如答图1 - 4 - 6，由AB² + BC² = AC²，知∠ABC = 90°。过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DH⊥AC于点H，因为DA平分∠BAC，所以DE = DH，同理可得DF = DH，所以DE = DF。连接BD，则BD是∠ABC的平分线，所以△BED，△BFD为等腰直角三角形，所以BE = BF = DE = DF，即四边形BEDF为正方形。在Rt△ADE和Rt△ADH中，
$\begin{cases}AD = AD，\\DE = DH，\end{cases}$
所以Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），所以AE = AH，同理可得Rt△CDF≌Rt△CDH（HL），所以CF = CH。设正方形BEDF的边长为x，则AE = AH = 5 - x，CF = CH = 12 - x。因为AH + CH = AC，所以5 - x + 12 - x = 13，解得x = 2，即BE = 2。在FC上截取FP = EM，连接DP，因为DE = DF，∠DEM = ∠DFP，EM = FP，所以△DEM≌△DFP（SAS），所以DM = DP，∠EDM = ∠FDP，所以∠MDP = ∠EDF = 90°。因为∠MDN = 45°，所以∠PDN = 45°。在△DMN和△DPN中，
$\begin{cases}DM = DP，\\∠MDN = ∠PDN，\\DN = DN，\end{cases}$
所以△DMN≌△DPN（SAS），所以MN = NP = NF + FP = NF + EM，所以△BMN的周长 = MN + BM + BN = EM + BM + BN + NF = BE + BF = 2 + 2 = 4。