《2025年新课标同步单元练习八年级数学下册北师大版深圳专版》

5. 如图1-1-30，已知等腰三角形ABC的底角为15°，AB = AC = 8 cm，求△ABC的面积．

答案：
解：如答图1-1-8，过C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D. 因为等腰三角形ABC的底角为15°，AB = AC，所以∠DAC = 30°. 因为CD为AB边上的高，AC = 8 cm，所以CD = 1/2AC = 4(cm). 所以三角形ABC的面积 = 1/2AB·CD = 16(cm²).

6. 如图1-1-31，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∠A = 30°，BC = 1. 将三角尺中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使DE始终与AB垂直．
(1)如图1-1-31，求证：△BDF是等边三角形；
(2)如图1-1-32，当DF通过点C(即点F与点C重合时)，求DE的长；
(3)如图1-1-33，当EF//AB时，求AD的长．

答案：
(1)证明：因为ED⊥AB，∠EDF = 30°，所以∠FDB = 60°. 因为∠A = 30°，∠ACB = 90°，所以∠B = 60°，则∠BFD = 60°，所以△BDF是等边三角形.
(2)解：在Rt△ABC中，∠A = 30°，BC = 1，所以AB = 2BC = 2. 由
(1)可知，△BCD为等边三角形，所以BD = BC = 1，所以AD = AB - BD = 1. 设DE = x，则AE = 2x，由勾股定理得AE² - DE² = AD²，即(2x)² - x² = 1²，解得DE = $\sqrt{3}$/3.
(3)解：因为EF//AB，所以∠CEF = ∠A = 30°，∠FED = ∠EDA = 90°，所以CF = 1/2EF，EF = 1/2DF. 因为△BDF为等边三角形，所以DF = BF = BD，所以BF = 4CF，所以BF = 4/5，所以AD = AB - BD = 2 - 4/5 = 6/5.

1. 如图1-1-34，∠AOB = 120°，OP平分∠AOB，且OP = 2. 若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有_______个．

答案： 无数

2. 如图1-1-35，等边三角形ABC的边长为6 cm，P为△ABC内任一点，PD⊥BC于D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则PE + PF + PD的值是________．

答案： $3\sqrt{3}$