《2025年新课标同步单元练习八年级数学下册北师大版深圳专版》

3. 甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了450 cm. 甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．设甲行走的时间为$x$(s)，甲、乙行走的路程分别为$y_1$(cm)，$y_2$(cm)，$y_1$，$y_2$与$x$之间的函数图象如图2-8，根据图象所提供的信息解答下列问题：
(1)乙比甲晚出发__________s，乙提速前的速度是每秒__________cm，$m =$__________，$n =$__________．
(2)当$x$为何值时，乙追上了甲？
(3)在乙提速后到甲、乙都停止的这段时间内，当甲、乙之间的距离不超过20 cm时，求$x$的取值范围．

答案： 解：
(1)15；15；31；45
(2)设$OA$段对应的函数关系式为$y = kx$， 因为$A(31,310)$在$OA$上， 所以$31k = 310$，解得$k = 10$，所以$y = 10x$。 设$BC$段对应的函数关系式为$y = k_{1}x + b$， 因为$B(17,30)$，$C(31,450)$在$BC$上， 所以$\begin{cases}17k_{1}+b = 30 \\ 31k_{1}+b = 450 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k_{1}=30 \\ b = - 480 \end{cases}$， 所以$y = 30x - 480$。 由乙追上了甲，得$10x = 30x - 480$，解得$x = 24$。 答：当$x$为24时，乙追上了甲。
(3)若$y_{1}-y_{2}\leqslant20$，即$10x - 30x + 480\leqslant20$， 解得$x\geqslant23$； 若$y_{2}-y_{1}\leqslant20$，即$30x - 480 - 10x\leqslant20$， 解得$x\leqslant25$； 若$450 - y_{1}\leqslant20$，即$450 - 10x\leqslant20$， 解得$43\leqslant x\leqslant45$。 综上所述，当$23\leqslant x\leqslant25$或$43\leqslant x\leqslant45$时，甲、乙之间的距离不超过20 cm。