《2025年新课标同步单元练习八年级数学下册北师大版深圳专版》

1. 如图3 - 3 - 5，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为2的等边三角形，则△OAB关于点O成中心对称的△OA₁B₁的顶点A₁，B₁的坐标分别是A₁________，B₁________．

答案： （2，0）@@（1，-√3）

2. 如图3 - 3 - 6，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE = AD，连接BE，CE.
(1)请写出成中心对称关系的图形；
(2)已知△ADC的面积为4，求四边形ABEC的面积；
(3)已知AB = 5，AC = 3，求AD的取值范围．

答案： 解:
(1)题图中成中心对称关系的图形有△ADC和△EDB,△ABD和△ECD,△ABC和△ECB,△ABE和△ECA.
(2)因为D是△ABC边BC的中点，△ADC的面积为4，所以△ABC的面积为8,又因为△ABC和△ECB成中心对称，所以△ECB的面积为8.所以四边形ABEC的面积为16.
(3)因为在△ABD和△ECD中,
$\begin{cases}AD=ED,\\∠ADB=∠EDC,\\BD=CD,\end{cases}$

所以△ABD≌△ECD(SAS),

所以AB=EC.

因为CE−AC<AE<AC+CE,

所以2<AE<8，所以1<AD<4.

3.【阅读理解】
我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)的对称中心的坐标为$(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2})$．
【观察应用】
(1)如图3 - 3 - 7，在平面直角坐标系中，若点$P_{1}$(0，-1)，$P_{2}$(2，3)的对称中心是点A，则点A的坐标为__________．
(2)另取两点B(-1.6，2.1)，C(-1，0)．有一电子青蛙从点$P_{1}$处开始依次关于点A，B，C作循环对称跳动，即第一次跳到点$P_{1}$关于点A的对称点$P_{2}$处，第二次跳到点$P_{2}$关于点B的对称点$P_{3}$处，第三次跳到点$P_{3}$关于点C的对称点$P_{4}$处，第四次跳到点$P_{4}$关于点A的对称点$P_{5}$处，……．求$P_{3}$，$P_{8}$的坐标．
(3)求点$P_{2022}$的坐标．

答案：
(1)(1,1)
(2)$P_{3}$(−5.2,1.2),$P_{8}$(2,3).
(3)因$P_{1}$(0,−1)→$P_{2}$(2,3)→$P_{3}$(−5.2,1.2)→$P_{4}$(3.2,−1.2)→$P_{5}$(−1.2,3.2)→$P_{6}$(−2,1)→$P_{7}$(0,−1)→$P_{8}$(2,3)→……,所以$P_{7}$的坐标和$P_{1}$的坐标相同，$P_{8}$的坐标和$P_{2}$的坐标相同，即坐标以6为周期循环.因为2022÷6=337,所以$P_{2022}$的坐标与$P_{6}$。的坐标相同，所以$P_{2022}$的坐标为(−2,1).