《2025年新课标同步单元练习八年级数学下册北师大版深圳专版》

7. 如图1-1-5，在$\triangle ABC$中，$AB = BC$，$D$为$BC$上一点，作$DE\perp AB$于点$E$，作$DF\perp BC$于点$D$，交$AC$于点$F$．
(1)若$\angle AFD = 155^{\circ}$，求$\angle EDF$的度数；
(2)若点$F$是$AC$的中点，求证：$\angle CFD=\frac{1}{2}\angle B$．

答案：

(1)解：因为∠AFD = 155°， 所以∠DFC = 25°. 因为DF⊥BC，DE⊥AB， 所以∠FDC = ∠AED = 90°. 在Rt△FDC中， ∠C = 90° - 25° = 65°. 因为AB = BC， 所以∠A = ∠C = 65°， 所以∠EDF = 360° - 65° - 155° - 90° = 50°.
(2)证明：如答图1 - 1 - 1，连接BF. 因为AB = BC，且点F是AC的中点， 所以BF⊥AC，∠ABF = ∠CBF = 1/2∠ABC， 所以∠CFD + ∠BFD = 90°. 又因为∠CBF + ∠BFD = 90°， 所以∠CFD = ∠CBF， 所以∠CFD = 1/2∠ABC.

1. 如图1-1-6，点$A$的坐标是$(1,1)$，若点$B$在$x$轴上，且$\triangle ABO$是等腰三角形，则点$B$的坐标可能是______．

答案： (− $\sqrt{2}$ ,0),( $\sqrt{2}$ ,0),(1,0),(2,0)

2. 如图1-1-7，在$\triangle ABC$中，$AB = 3\ cm$，$AC = 4\ cm$，$BC = 5\ cm$，过$\triangle ABC$的顶点画一条直线，将$\triangle ABC$分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，这样的直线最多可画______条．

答案： 6

3. 我们经常遇到需要分类的问题，画“树形图”可以帮我们不重复、不遗漏地分类．
【例题】
在等腰三角形$ABC$中，若$\angle A = 80^{\circ}$，求$\angle B$的度数．
分析：$\angle A$，$\angle B$都可能是顶角或底角，因此需要分成如图1-1-8所示的3类，这样的图就是树形图，据此可求出$\angle B = 50^{\circ}$或$\angle B = 80^{\circ}$或$\angle B = 20^{\circ}$．
分类$\begin{cases}\angle A为顶角——\angle B为底角\\\angle A为底角\begin{cases}\angle B为底角\\\angle B为顶角\end{cases}\end{cases}$
图1-1-8
【应用】
(1)已知等腰三角形$ABC$的周长为19，$AB = 7$，仿照例题画出树形图，并直接写出$BC$的长度；
(2)将一个边长分别为5，12，13的直角三角形拼上一个三角形后可以拼成一个等腰三角形，图1-1-9就是其中的一种拼法，请你画出其他所有可能的情形，并在图上标出所拼成等腰三角形的腰的长度．(选用备用图画图，每种情形用一个图形单独表示，并用①②③…编号，若备用图不够，请自己画图补充)

答案：
解：
(1)树形图如答图1 - 1 - 2：

当AB为底边，BC为腰时，BC = 1/2×(19 - 7)=6； 当AB为腰，BC为腰时，BC = AB = 7； 当AB为腰，BC为底边时，BC = 19 - 2×7 = 5. 经检验，上述三种情况均符合题意. 综上所述，BC的长度是5，6或7.
(2)如答图1 - 1 - 3，共有6种情形.