《2025年课堂新坐标高中同步导学案高中物理必修第一册鲁科版》

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生活实践中的物理
在我国某些地区有一种伸臂桥(如图甲所示)。 当地人将木板重叠，逐渐向河面延伸。 他们用不太长的木板铺设桥面，同时使逐渐向河中心延伸的木板与泥土形成整体，并使其重心仍然在支持面内，巧妙地形成稳定的平衡结构。
现用两根木条叠放的方式探究伸臂桥的平衡稳定问题。 选两块质地均匀、质量相同的木条叠放在桌子边缘如图乙摆放。
(问题) 若木条长度均为$l$，为使这两块木条保持平衡，不致翻倒。木条 2 的右端离桌沿的水平距离最远可为多少？还有哪些因素会影响伸臂桥的安全？

伸臂桥示意图 怎样保持平衡

答案：
[阅读材料·拓宽物理视野] 提示：如图所示，对于木条2，只要其伸出的长度不超$\frac{l}{2}$，就不会翻倒，将木条1、2看成一个整体，在木条2伸出$\frac{l}{2}$的情况下，其总重心在距木条2右侧$\frac{3}{4}l$处，只要其重心位置保证在桌面正上方，木条1、2都不会翻倒，故木条2的右端离桌沿的水平距离最远为$\frac{3}{4}l$。 影响伸臂桥安全的因素有：木板的承压能力、木板的长度、各层木板向前延伸的长度、木板上方填压的沙石对重心的影响及过往行人、车辆的总重等。

【典例1】 如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，$O$为球心。一质量为$m$的小滑块，在水平力$F$的作用下静止于$P$点，设滑块所受支持力为$F_{ N}$，$OP$与水平方向的夹角为$\theta$。下列关系正确的是 (A)

A. $F = \frac{mg}{\tan \theta}$
B. $F = mg \tan \theta$
C. $F_{ N} = \frac{mg}{\tan \theta}$
D. $F_{ N} = mg \tan \theta$
思路点拨：(1)滑块处于静止状态，所受合外力为零。
(2)选取滑块为研究对象可采用合成法、效果分解法、正交分解法求解。

答案：
典例1　A　[方法一:合成法
滑块受力如图甲所示,由平衡条件知,$\frac{mg}{F} = \tan \theta$,$\frac{mg}{F_N} = \sin \theta$，解得$F = \frac{mg}{\tan \theta}$,$F_N = \frac{mg}{\sin \theta}$。
　
方法二:效果分解法
将重力按产生的作用效果分解，如图乙所示，则$F = G_2 = \frac{mg}{\tan \theta}$,$F_N = G_1 = \frac{mg}{\sin \theta}$。
方法三:正交分解法
将滑块受的力沿水平、竖直方向分解，如图丙所示，则$mg = F_N \sin \theta$,$F = F_N \cos \theta$，联立解得$F = \frac{mg}{\tan \theta}$,$F_N = \frac{mg}{\sin \theta}$，综上可知，选项A正确。]