《2025年课堂新坐标高中同步导学案高中物理必修第一册鲁科版》

1. 如图所示，质量为$m$的小球置于倾角为$30°$的光滑斜面上，劲度系数为$k$的轻质弹簧，一端系在小球上，另一端固定在墙上的$P$点，小球静止时，弹簧与竖直方向的夹角为$30°$，则弹簧的伸长量为 (C)

A.$\frac{mg}{k}$
B.$\frac{\sqrt{3}mg}{2k}$
C.$\frac{\sqrt{3}mg}{3k}$
D.$\frac{\sqrt{3}mg}{k}$

答案：
1.C　[方法一:正交分解法
如图甲所示为小球的受力情况，其中$F$为弹簧的弹力，由几何关系可知，弹力$F$与斜面之间的夹角为$30^{\circ}$。将小球所受的重力$mg$和弹力$F$分别沿平行于斜面和垂直于斜面的方向进行正交分解，由共点力的平衡条件知，弹力$F$沿斜面向上的分力与重力$mg$沿斜面向下的分力大小相等，即$F \cos 30^{\circ} = mg \sin 30^{\circ}$，由胡克定律得$F = kx$，联立解得弹簧的伸长量$x = \frac{\sqrt{3}mg}{3k}$，选项C正确。
　　　
方法二:合成法
如图乙所示，将弹力$F$和斜面对小球的支持力$F_N$直接合成，图中的$F'$即为两力的合力。
由几何关系可知，图中$\alpha = 120^{\circ}$，$\beta = 30^{\circ}$，由正弦定理可得$\frac{mg}{\sin 120^{\circ}} = \frac{F}{\sin 30^{\circ}}$，而弹力$F = kx$，联立解得弹簧的伸长量$x = \frac{\sqrt{3}mg}{3k}$。]