《2025年课堂新坐标高中同步导学案高中物理必修第一册鲁科版》

【典例3】（教材$P_{65}T_{7}$改编）一辆汽车以$3m/s^{2}$的加速度开始启动的瞬间，一辆以$6m/s$的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过。
(1)汽车在追上自行车前运动多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多少？
(2)汽车经多长时间追上自行车？追上自行车时汽车的瞬时速度是多大？

答案：
解析：
(1)方法一：物理分析法
汽车与自行车的速度相等时两车相距最远，设此时经过的时间为$t_1$，汽车的速度为$v_1$，两车间的距离为$\Delta s$，则有$v_1 = at_1 = v_自$
所以$t_1 = \frac{v_自}{a} = 2 s$
$\Delta s = v_自 t_1 - \frac{1}{2} a t_1^2 = 6 m$。
方法二：图像法
自行车和汽车运动的$v-t$图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，$t_1$时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积。

$t_1 = \frac{v_1}{a} = \frac{6}{3} s = 2 s$
$\Delta s = \frac{v_1 t_1}{2} = \frac{6 × 2}{2} m = 6 m$。
方法三：数学分析法
设汽车在追上自行车之前经过时间$t_1$两车相距最远，则$\Delta s = s_1 - s_2 = v_自 t_1 - \frac{1}{2} a t_1^2$
代入已知数据得$\Delta s = 6t_1 - \frac{3}{2} t_1^2$
由二次函数求极值的条件知$t_1 = 2 s$时，$\Delta s$最大
所以$\Delta s = 6 m$。
(2)方法一：当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为$t_2$，汽车的瞬时速度为$v_2$，则有$v_自 t_2 = \frac{1}{2} a t_2^2$
解得$t_2 = \frac{2v_自}{a} = \frac{2 × 6}{3} s = 4 s$
$v_2 = at_2 = 3 × 4 m/s = 12 m/s$。
方法二：由图可以看出，在$t_1$时刻之后，由图线$v_自$、$v_汽$和$t = t_2$构成的三角形的面积与标有阴影的三角形面积相等，此时汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇。由几何关系知$t_2 = 2t_1 = 4 s$，$v_2 = at_2 = 3 × 4 m/s = 12 m/s$。
答案：
(1)$2 s$ $6 m$
(2)$4 s$ $12 m/s$