《2026年中教万联中考总动员九年级数学河北专版》

练习一 如图,已知AB//DE,AB=DE,BE=CF,且点B,E,C,F在同一条直线上.求证:∠ACB=∠DFE.

答案： 证明：$\because AB// DE$，$\therefore \angle B = \angle DEF$。$\because BE = CF$，$\therefore BE + EC = CF + EC$，即$BC = EF$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$\begin{cases}AB = DE, \\\angle B = \angle DEF, \\BC = EF,\end{cases}$
$\therefore \triangle ABC \cong \triangle DEF(SAS)$，$\therefore \angle ACB = \angle DFE$。

练习二 [25·福建]如图,点E,F分别在AB,AD的延长线上,∠CBE=∠CDF,∠ACB=∠ACD.求证:AB=AD.

答案： 证明：$\because \angle CBE = \angle CDF$，$\therefore \angle ABC = \angle ADC$。在$\triangle ABC$和$\triangle ADC$中，$\begin{cases}\angle ABC = \angle ADC, \\\angle ACB = \angle ACD, \\AC = AC,\end{cases}$
$\therefore \triangle ABC \cong \triangle ADC(AAS)$，$AB = AD$。

练习三 已知在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,且DE=9cm,∠BDA=∠AEC=∠BAC.
(1)如图1,若AB⊥AC,则BD与AE的数量关系为,CE与AD的数量关系为;
(2)如图2,判断并说明线段BD,CE与DE的数量关系;
(3)如图3,若只保持∠BDA=∠AEC,BD=EF=7cm,点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动,同时,点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动,它们运动的时间为ts.是否存在x,使得△ABD与△EAC全等?若存在,求出相应的t的值;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)$BD = AE$，$CE = AD$。
提示：$\because \angle BDA = \angle AEC = \angle BAC$，$\therefore \angle BAD + \angle CAE = \angle BAD + \angle ABD$，$\therefore \angle CAE = \angle ABD$。
又$\because \angle BDA = \angle AEC$，$BA = CA$，$\therefore \triangle ABD \cong \triangle CAE(AAS)$，$\therefore BD = AE$，$CE = AD$。
(2)$DE = BD + CE$，理由：由
(1)同理可得$\triangle ABD \cong \triangle CAE(AAS)$，$BD = AE$，$CE = AD$，$\therefore DE = AE + AD = BD + CE$。
(3)存在，当$\triangle DAB \cong \triangle ECA$时，$BD = AE = 7cm$，$AD = CE = 2cm$，$\therefore t = 1$；当$\triangle DAB \cong \triangle EAC$时，$AD = AE = 4.5cm$，$DB = EC = 7cm$，$\therefore t = \frac{AD}{2}=\frac{9}{4}$。综上，$t = 1$或$t = \frac{9}{4}$。