《2026年中教万联中考总动员九年级数学河北专版》

例 [25·邯郸模拟] 如图，抛物线 $ L:y = \frac{1}{4}x^{2}+bx - 3(b $ 为常数)。
(1) 求证：抛物线 $ L $ 一定与 $ x $ 轴有两个交点，并且这两个交点分居在原点的两侧；
(2) 当抛物线 $ L $ 经过点 $ M(-4,m),N(6,m) $ 时，
① 求抛物线 $ L $ 的顶点坐标，并直接写出抛物线 $ L $ 与 $ x $ 轴在原点右侧的交点坐标；

② 若 $ 0 \leq x \leq n $ 时，函数 $ y = \frac{1}{4}x^{2}+bx - 3 $ 的最大值与最小值的差总为 $ \frac{1}{4} $，求 $ n $ 的取值范围。

答案： 例 解：
(1)证明：在$y = \frac{1}{4}x^{2}+bx - 3$
中，当$y = 0$时，得$\frac{1}{4}x^{2}+bx - 3 = 0$，$\because\Delta=$
$b^{2}-4×\frac{1}{4}×(-3)=b^{2}+3 ＞ 0$，
$\therefore$该一元二次方程有两个不相等的实数根，即抛物线$L$一定与$x$轴有两个交点，设$\frac{1}{4}x^{2}+bx - 3 = 0$的两根分别为$x_{1},x_{2}$，$\therefore x_{1}· x_{2}=-12 ＜ 0$，$\therefore$该一元二次方程有两个异号的实数根，$\therefore$抛物线$L$与$x$轴的两个交点分居在原点的两侧；
(2)①$\because$抛物线$L$经过点$M(-4,m)$，
$N(6,m)$，$\therefore$抛物线$L$的对称轴为直
线$x=\frac{-4 + 6}{2}=1=-\frac{b}{2}×\frac{1}{4}$，$\therefore b = - \frac{1}{2}$
$\therefore L$的函数表达式为$y=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x - 3$
当$x = 1$时，$y=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-3=-\frac{13}{4}$
$\therefore$抛物线$L$的顶点坐标为$(1,-\frac{13}{4})$，当
$y = 0$时，$\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x - 3 = 0$，解得$x = 1+\sqrt{13}$（负值舍去），$\therefore$抛物线$L$与$x$轴在原点右侧的交点坐标为$(1+\sqrt{13},0)$；
②$\because y=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x - 3$与$y$轴交于点$D$
$(0,-3)$，$\therefore$点$D$关于直线$x = 1$的对称点为$(2,-3)$，$\because$抛物线$L$的开口向
上，$\therefore$当$0\leqslant x\leqslant2$时，抛物线$L$上的最高点的纵坐标总是$-3$，最低点总是
$(1,-\frac{13}{4})$，两个点的纵直距离总为$\frac{1}{4}$
$\therefore$当$1\leqslant n\leqslant2$时，函数$y=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x -$
$3$的最大值与最小值的差总为$\frac{1}{4}$

练习一 [25·陕西] 在平面直角坐标系中，二次函数 $ y = ax^{2}-2ax+a - 3(a \neq 0) $ 的图象与 $ x $ 轴有两个交点，且这两个交点分别位于 $ y $ 轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是 ( )
A.图象的开口向下
B.当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而增大
C.函数的最小值小于 -3
D.当 $ x = 2 $ 时，$ y ＜ 0 $

答案： 练习一 D 

练习二 我们定义一种新函数：形如 $ y = |ax^{2}+bx+c|(a \neq 0,b^{2}-4ac ＞ 0) $ 的函数叫做“鹊桥”函数。小丽同学画出了“鹊桥”函数 $ y = |x^{2}-2x - 3| $ 的图象（如图所示），并写出下列五个结论：① 图象与坐标轴的交点为 $ (-1,0),(3,0) $ 和 $ (0,3) $；② 图象具有对称性，对称轴是直线 $ x = 1 $；③ 当 $ -1 \leq x \leq 1 $ 或 $ x \geq 3 $ 时，函数值 $ y $ 随 $ x $ 值的增大而增大；④ 当 $ x = -1 $ 或 $ x = 3 $ 时，函数的最小值是 $ 0 $；⑤ 当 $ x = 1 $ 时，函数的最大值是 $ 4 $。其中正确结论的个数是 ( )
A.4
B.3
C.2
D.1

答案： 练习二 A