《2026年中教万联中考总动员九年级数学河北专版》

例1 [25·福建] 中国古算诗词歌赋较多。古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式。下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是(D)

答案： 例1 D

练习一 [24·河北3题] 如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D。下列不一定正确的是(A)

A.AD ⊥ BC
B.AC ⊥ PQ
C.△ABO ≌ △CDO
D.AC // BD

答案： 练习一 A 

练习二 如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 45°，点D是边BC上的动点，点D关于AB，AC的对称点分别为点E，F，连接AE，AF，EF。点D在从点B向点C运动过程中，△AEF的周长(D)
A.一直在变小
B.保持不变
C.先变大再变小
D.先变小再变大

答案： 练习二 D

例2 [25·邯郸一模] 在平行四边形ABCD中，点E在折线BA - AD上，点F在边BC上，沿EF将平行四边形ABCD折叠，点A的对应点为A'，点B的对应点为B'。

（1）已知∠B = 60°，AB = 4，BC = 6。
①如图1，若点E在边AB上，点B'落在边AD上，求CF的最大值；
②如图2，若点E在边AD上，点B'落在边AD上，B'D = 1，求点E到AB的距离。
（2）已知AB = 4，BC = 6，若点E与点A重合，点F与点C重合，连接B'D，且B'D = 4，求cosB的值。

答案：
解：
(1)①如图1，过点C作CM⊥AD于点M.

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4,∠D=∠B=60°，
∴$CM=CD·sin60°=2\sqrt{3}.$
由题意得，BF=B'F,
当B'F⊥AD时，B'F最小，BF最小，
CF最大，
∴BF的最小值为CM的长，即为$2\sqrt{3}，$
∴CF的最大值为$6 - 2\sqrt{3}；$
②如图2，过点E作EG⊥AB交BA的延长线于点G，连接BE，设AE=x.

∵AD//BC，
∴∠GAE=∠ABC=60°，
∴$AG=\frac{1}{2}x,EG=\frac{\sqrt{3}}{2}x.$
在△A'B'E和△ABE中，
$\begin{cases}A'B'=AB,\\ ∠B'A'E=∠BAE,\\ A'E=AE,\end{cases}$
∴△A'B'E≌△ABE(SAS).
∴BE=B'E=6 - 1 - x=5 - x.
在Rt△BEG中，BG²+EG²=BE²，
∴$(4 + \frac{1}{2}x)² + (\frac{\sqrt{3}}{2}x)² = (5 - x)²，$解得$x=\frac{9}{14}，$
∴点E到AB的距离$EG=\frac{\sqrt{3}}{2}x=\frac{9\sqrt{3}}{28}；$
(2)如图3，设B'C交AD于点P，由题意得，B'A=AB=4,BC=B'C=6.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,BC=AD.
在△AB'D和△CDB'中，
$\begin{cases}AD=CB',\\ AB'=CD,\\ B'D=DB',\end{cases}$
∴△AB'D≌△CDB'(SSS)，
∴∠ADB'=∠CB'D.
∵B'A=DB'=4，
∴∠DAB'=∠ADB'，
∴∠CB'D=∠DAB'.
又∠B'DP=∠ADB'，
∴△B'DP∽△ADB'，
∴$\frac{DP}{DB'}=\frac{B'P}{AB'}=\frac{B'D}{AD}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}，$
∴$DP=B'P=\frac{8}{3}，$$AP=CP=\frac{10}{3}.$
∵$\frac{B'P}{DP}=\frac{CP}{AP}=1,∠DPB'=∠APC，$
∴△B'DP∽△CAP，
∴$\frac{B'D}{CA}=\frac{DP}{AP}=\frac{4}{5}，$
∴AC=5.
过点A作AQ⊥BC于点Q，设BQ=x，
∵AB² - x² = AC² - (6 - x)²，解得$x=\frac{9}{4}，$
∴$cosB=\frac{BQ}{AB}=\frac{9}{16}.$
拓题一
(3)
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4,AD=BC=6,∠A=∠D=∠C=90°.
∵A'为CD的中点，
∴$DA'=CA'=\frac{1}{2}×4=2.$
由折叠可得，AE=EA'，A'B'=AB.
设EA'=AE=x，
∴ED=AD - AE=6 - x.
在Rt△EDA'中，EA'²=ED²+DA'²，
即x²=(6 - x)²+2²，解得$x=\frac{10}{3}，$
∴$EA'=AE=\frac{10}{3}，$
∴$ED=AD - AE=\frac{8}{3}$
∵∠DEA'+∠DA'E=90°，∠DA'E+∠CA'H=90°，
∴∠CA'H=∠DEA'，
∴△EDA'∽△A'CH，
∴$\frac{ED}{A'C}=\frac{EA'}{A'H}，$即$\frac{\frac{8}{3}}{2}=\frac{\frac{10}{3}}{A'H}，$
∴$A'H=\frac{5}{2}$
∵A'B'=AB=4，
∴$B'H=A'B'-A'H=\frac{3}{2}$
拓题二
(4)
∵AB'=2,CB'=6，
∴AC=2 + 6=8.
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AB=BC,∠BAC=∠DAC=\frac{1}{2}∠BAD=\frac{1}{2}×120°=60°，$
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°,BC=AC=8.
如图，过点F作FG⊥AC于点G，

∵∠FGC=90°，
∴∠CFG=30°，
∴CF=2CG.
设CG=a,CF=2a，
则$FG=\sqrt{3}a,B'G=6 - a，$
∴BF=B'F=8 - 2a.
由勾股定理得FG²+GB'²=B'F²，
∴$(\sqrt{3}a)²+(6 - a)²=(8 - 2a)²，$
∴$a=\frac{7}{5}，$
∴$CF=2a=\frac{14}{5}.$
拓题三
(5)如图，连接BE,B'E,EG.

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°,AB=AD=CD=2.
∵E是AD的中点，G是CD的中点，
∴AE=DE=DG=1.
在Rt△ABE中，$BE=\sqrt{2²+1²}=\sqrt{5}，$
在Rt△DEG中，$EG=\sqrt{1²+1²}=\sqrt{2}.$
∵点B与点B'关于直线EF对称，
∴BE=B'E，
∴当点F运动时，点B'的运动轨迹为以点E为圆心,EB为半径的一段圆弧，当E,G,B'三点共线时,GB'最短，GB'的最小值为$\sqrt{5}-\sqrt{2}$

拓题一 （3）如图，AB = 4，BC = 6，当四边形ABCD是矩形时，若A'落在CD的中点处，求B'H的长。

答案： 拓题一
(3)
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4,AD=BC=6,∠A=∠D=∠C=90°.
∵A'为CD的中点，
∴$DA'=CA'=\frac{1}{2}×4=2.$
由折叠可得，AE=EA'，A'B'=AB.
设EA'=AE=x，
∴ED=AD - AE=6 - x.
在Rt△EDA'中，EA'²=ED²+DA'²，
即x²=(6 - x)²+2²，解得$x=\frac{10}{3}，$
∴$EA'=AE=\frac{10}{3}，$
∴$ED=AD - AE=\frac{8}{3}$
∵∠DEA'+∠DA'E=90°，∠DA'E+∠CA'H=90°，
∴∠CA'H=∠DEA'，
∴△EDA'∽△A'CH，
∴$\frac{ED}{A'C}=\frac{EA'}{A'H}，$即$\frac{\frac{8}{3}}{2}=\frac{\frac{10}{3}}{A'H}，$
∴$A'H=\frac{5}{2}$
∵A'B'=AB=4，
∴$B'H=A'B'-A'H=\frac{3}{2}$

拓题二 （4）如图，若四边形ABCD是菱形，∠BAD = 120°，点B的对应点B'落在AC上且AB' = 2，CB' = 6，求CF的长。

答案：
拓题二
(4)
∵AB'=2,CB'=6，
∴AC=2 + 6=8.
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AB=BC,∠BAC=∠DAC=\frac{1}{2}∠BAD=\frac{1}{2}×120°=60°，$
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°,BC=AC=8.
如图，过点F作FG⊥AC于点G，

∵∠FGC=90°，
∴∠CFG=30°，
∴CF=2CG.
设CG=a,CF=2a，
则$FG=\sqrt{3}a,B'G=6 - a，$
∴BF=B'F=8 - 2a.
由勾股定理得FG²+GB'²=B'F²，
∴$(\sqrt{3}a)²+(6 - a)²=(8 - 2a)²，$
∴$a=\frac{7}{5}，$
∴$CF=2a=\frac{14}{5}.$

拓题三 （5）如图，若四边形ABCD是正方形，已知AB = 2，E，G分别是边AD，CD的中点，F是边BC上的动点，连接EF，将正方形ABCD沿EF折叠，A，B的对应点分别为A'，B'，求线段GB'的最小值。

答案：
拓题三
(5)如图，连接BE,B'E,EG.

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°,AB=AD=CD=2.
∵E是AD的中点，G是CD的中点，
∴AE=DE=DG=1.
在Rt△ABE中，$BE=\sqrt{2²+1²}=\sqrt{5}，$
在Rt△DEG中，$EG=\sqrt{1²+1²}=\sqrt{2}.$
∵点B与点B'关于直线EF对称，
∴BE=B'E，
∴当点F运动时，点B'的运动轨迹为以点E为圆心,EB为半径的一段圆弧，当E,G,B'三点共线时,GB'最短，GB'的最小值为$\sqrt{5}-\sqrt{2}$