《2026年中教万联中考总动员九年级数学河北专版》

例6 [25·石家庄模拟] 规定: 若两个数的平方差能被8整除，则称这个算式是“如意式”. 例如: 5² - 3² = 2×8；13² - 11² = 6×8.
(1)验证: 21² - 19²是“如意式”；
(2)证明: 任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“如意式”.

答案： 例6 解：
(1)$\because 21^{2}-19^{2}=(21 + 19)(21 - 19)=40×2 = 80 = 10×8$,$\therefore 21^{2}-19^{2}$能被 8整除，$\therefore 21^{2}-19^{2}$是“如意式”;
(2)证明：设两个连续奇数分别为$2n + 1,2n - 1,\therefore (2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2}=[(2n + 1)+(2n - 1)][(2n + 1)-(2n - 1)]=4n× 2 = 8n$,$\therefore$任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“如 意式”.

衍生一 变考向——数字推理
在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算. 嘉嘉受其启发，设计了如图1所示的“竖式表格算法”，图1表示87²，运算结果为7569. 图2表示一个两位数的平方，表格中部分数据被墨迹覆盖，已知m ≠ 0，根据图2中现有数据进行推断，一定正确的是 (C)

A.a = e
B.b + m = 10 + f
C.这个两位数为m + 50
D.(10n + m)²运算结果小于3000

答案： 衍生一 C

衍生二 变情境——融入数阵
【发现】如图，嘉嘉在研究如下数阵时，用正方形框任意框住四个数，发现了有趣的数学规律:

方框一: 7×14 - 6×15 = 8. 方框二: 11×18 - 10×19 = 8.
【验证】根据【发现】的规律，写出方框三中相应的算式；
【探究】设被框住的四个数中最小的数为n，用含n的式子证明你所发现的规律.

答案：   衍生二 解：[验证]根据题意得$4×11 - 3×12 = 8$; [探究] 设被框住的四个数中最小的 数为$n$，则有$(n + 1)(n + 8)-n(n + 9)= n^{2}+9n + 8 - n^{2}-9n = 8$. 证明：依题意，$(n + 1)(n + 8)-n(n + 9)= n^{2}+9n + 8 - n^{2}-9n = 8$.