《2026年中教万联中考总动员九年级数学河北专版》

[25·邯郸模拟]某文具店购进甲、乙两种品牌的书包共 80 个，其进价与售价情况如下表所示：

设购进甲品牌书包 x 个，销售完这 80 个书包所获得的总利润是 y 元。
(1)求 y 与 x 的函数关系式；
(2)该文具店是否会获得利润 1406 元？说明理由；
(3)若该文具店购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的一半，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？

答案： 解：
(1)y = (80 - 60)x + (72 - 56)(80 - x) = 4x + 1280，
∴y = 4x + 1280；
(2)该文具店不会获得利润1406元.理由：当y = 1406时，得4x + 1280 = 1406，解得x = 31.5.
∵x为整数，
∴该文具店不会获得利润1406元；
(3)由条件可得x ≤ $\frac{1}{2}$(80 - x)，
∴x ≤ $\frac{80}{3}$.在y = 4x + 1280中，y随x的增大而增大.
∵x为整数，
∴当x = 26时，该文具店获得利润最大，此时y = 4×26 + 1280 = 1384，即购买甲品牌书包26个，乙品牌书包54个获得最大利润，最大利润为1384元.

[25·齐齐哈尔]2025 年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合。为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI 热情瞬间燃爆。校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了 A，B，C 三个互动区，机器人甲、乙分别从 A，C 两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以 20 m/min 的速度匀速向 B 区行进，行至 B 区时停留 4.5 min(与师生热情互动)后，继续沿“勤学路”向 C 区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以 10 m/min 的速度匀速向 B 区行进，行至 B 区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达 C 区。机器人甲、乙距 B 区的距离 y(m)与机器人乙行进的时间 x(min)之间的函数关系如图所示。请结合图象信息解答下列问题：
(1)A，C 两区相距m，a=；
(2)求线段 EF 所在直线的函数解析式；
(3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距 30 m？(直接写出答案即可)

答案： 解：
(1)240 7.5
(2)机器人乙到达B区时所用时间为90÷10 = 9(min)，
∴E(9,0)，设直线EF的解析式为y = kx + b(k≠0)，
把E(9,0)，F(15,90)代入，得$\begin{cases}9k + b = 0\\15k + b = 90\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 15\\b = -135\end{cases}$，
∴线段EF所在直线的函数解析式为y = 15x - 135；
(3)7min或11min或13min.
提示：当0 ≤ x ≤ 7.5时，20x + 10x + 30 = 240，解得x = 7；当9 ≤ x ≤ 12时，15x - 135 = 30，解得x = 11；当12 ＜ x ≤ 15时，可求得y = 30x - 360，令15x - 135 - (30x - 360) = 30，解得x = 13，
∴机器人乙行进的时间为7min或11min或13min时，机器人甲、乙相距30m.