《2026年中教万联中考总动员九年级数学河北专版》

1. 数学活动课上，李老师带领同学们探索有关数轴的一些奥秘。
(1) 项目学习一：探索“折线数轴”上的动点问题
如图 1，李老师将一条数轴在原点 $ O $、点 $ B $、点 $ C $ 处折一下，得到一条“折线数轴”。图中点 $ A $ 表示 $-9$，点 $ B $ 表示 $ 12 $，点 $ C $ 表示 $ 24 $，点 $ D $ 表示 $ 36 $，我们称点 $ A $ 与点 $ D $ 在数轴上的“友好距离”为 $ 45 $ 个单位长度，并表示为 $\overset{\frown}{AD}=45$。
已知动点 $ P $ 从点 $ A $ 出发，以每秒 $ 2 $ 个单位长度的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动。当运动到点 $ O $ 与点 $ B $ 之间时速度变为初始速度的一半；当运动到点 $ B $ 与点 $ C $ 之间时速度变为初始速度的 $ 3 $ 倍；经过点 $ C $ 后立刻恢复初始速度。
① 动点 $ P $ 从点 $ A $ 运动至点 $ C $ 需要多少时间？
② 动点 $ P $ 从点 $ A $ 出发，运动 $ t \ s $ 至点 $ B $ 和点 $ C $ 之间时，求点 $ P $ 表示的数(用含 $ t $ 的代数式表示)；
③ 动点 $ P $ 从点 $ A $ 出发，运动至点 $ D $ 的过程中某个时刻满足 $\overset{\frown}{PB}+\overset{\frown}{PC}=16$ 时，求动点 $ P $ 运动的时间。
(2) 项目学习二：探索数轴的折叠与剪切问题
同学们在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究，请你完成下面的操作。
操作一：① 如图 2，在数轴上，三个有理数从左到右依次是 $-1$，$ m $，$ m + 1 $，借助圆规，在数轴上画出原点 $ O $；
操作二：② 折叠这条数轴所在纸面，若使表示 $-1$ 的点与表示 $ 3 $ 的点重合，表示 $ m $ 的点与表示 $-2023$ 的点重合，求 $ m $；
操作三：③ 从数轴上(如图 3)剪下 $ 9 $ 个单位长度(从 $-1$ 到 $ 8 $)的部分(不考虑宽度)，并把这条数轴沿数 $ m $ 所在点竖直折叠，然后在重叠部分某处剪开(如图 4)，得到三条线段。若这三条线段的长度之比为 $ 1:1:2 $，直接写出 $ m $ 的值。

答案：
1. 解：
(1)①需要 $9 ÷ 2+12 ÷ 1+12 ÷ 6=18.5(s)$；
②点 $P$ 表示的数为 $12+6(t-16.5)=6t-87$；
③$\because OC=24-0=24$，$BC=24-12=12$，$BD=36-12=24$，$\therefore \hat{P}B+\hat{P}C=16$ 共两种情况.
当点 $P$ 在点 $O$ 和点 $B$ 之间，即 $4.5＜t＜16.5$ 时，点 $P$ 表示的数为：$0+1 × (t-4.5)=t-4.5$，
$\therefore PB=12-(t-4.5)=16.5-t$，$PC=24-(t-4.5)=28.5-t$，$\therefore 16.5-t+28.5-t=16$，解得 $t=14.5$；
当点 $P$ 在点 $C$ 的右侧，即 $t＞18.5$ 时，点 $P$ 表示的数为 $24+2(t-18.5)=2t-13$，$\therefore PB=2t-13-12=2t-25$，$PC=2t-13-24=2t-37$，$\therefore 2t-25+2t-37=16$，解得 $t=19.5$.
答：动点 $P$ 的运动的时间是 $14.5s$ 或 $19.5s$；
(2)①如图，原点 $O$ 即为所求；
②由折叠可知：$m+(-2023)=-1+3$，解得 $m=2025$；
③折痕处对应的点所表示的数可能是 $\frac {19}8$ 或 $\frac 72$ 或 $\frac {37}8$.