《2026年中教万联中考总动员九年级数学河北专版》

1. [25·长沙]如图，某景区内两条互相垂直的道路 a，b 交于点 M，景点 A，B 在道路 a 上，景点 C 在道路 b 上。为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路 b 上又开发了风景优美的景点 D。经测量，得景点 C 位于景点 B 的北偏东 60°方向上，位于景点 A 的北偏东 30°方向上，景点 B 位于景点 D 的南偏西 45°方向上。已知 AB=800 m。
(1)求∠ACB 的度数；
(2)求景点 C 与景点 D 之间的距离。(结果保留根号)

答案： 解：
(1)根据题意得$\angle CBE=60^{\circ}$，$\angle CAF=30^{\circ}$，$\angle BDM=45^{\circ}$，$BM\perp DM$，$BE// AF// DM$，$\therefore \angle BCM = \angle CBE = 60^{\circ}$，$\angle ACM = \angle CAF=30^{\circ}$，$\therefore \angle ACB = \angle BCM - \angle ACM=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$；
(2)设$AM = x$m，则$AC = 2x$m，
$\therefore CM=\sqrt{3}AM=\sqrt{3}x$m，
在$Rt\triangle BCM$中，$\tan\angle BCM=\frac{BM}{CM}=\frac{800 + x}{\sqrt{3}x}$，即$\sqrt{3}=\frac{800 + x}{\sqrt{3}x}$，解得$x = 400$，
经检验得$x = 400$是原方程的解，
$\therefore BM=BA + AM=1200$m，
$\because \angle BDM=45^{\circ}$，$BM\perp DM$，$\therefore BM = DM = 1200$m，$\therefore DC = DM - CM = 1200 - 400\sqrt{3}(m)$，$\therefore$景点$C$与景点$D$之间的距离为$(1200 - 400\sqrt{3})m$。

2. [25·邯郸模拟]如图 1，塑像 AB 在底座 BC 上，点 D 是人眼所在的位置。当点 B 高于人的水平视线 DE 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大。数学家研究发现：当经过 A，B 两点的圆与水平视线 DE 相切时(如图 2)，在切点 P 处感觉看到的塑像最大，此时∠APB 为最大视角。
(1)请仅就图 2 的情形证明∠APB＞∠ADB；
(2)经测量，最大视角∠APB 为 30°，在点 P 处看塑像顶部点 A 的仰角∠APE 为 60°，点 P 到塑像的水平距离 PH 为 6 m。求塑像 AB 的高。(结果精确到 0.1 m。参考数据：√3≈1.73)

答案：
解：
(1)证明：如图，设$AD$与圆交于点$M$，连接$BM$，则$\angle AMB = \angle APB$。
$\because \angle AMB\gt\angle ADB$，$\therefore \angle APB\gt\angle ADB$；

(2)$\because \angle APH = 60^{\circ}$，$PH = 6$m，
$\tan\angle APH=\frac{AH}{PH}$，
$\therefore AH = PH·\tan60^{\circ}=6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}(m)$。
$\because \angle APB = 30^{\circ}$，$\therefore \angle BPH = \angle APH - \angle APB=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$，
$\tan\angle BPH=\frac{BH}{PH}$，$\therefore BH = PH·\tan30^{\circ}=6×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}(m)$，$\therefore AB = AH - BH = 6\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\approx4×1.73 = 6.9(m)$，
即塑像$AB$的高约为$6.9$m。