《2026年中教万联中考总动员九年级数学河北专版》

如图，抛物线$C_{1}:y = x^{2}+bx + 5$与$x$轴交于$M$，$N$两点（点$M$在点$N$的左侧），交$y$轴于点$A$，抛物线$C_{2}$也经过点$A$，且其顶点坐标为$D(3,-4)$。
（1）求抛物线$C_{2}$的解析式；
（2）若$C_{1}$与$C_{2}$关于$y$轴对称，直接写出$b$的值，并求出点$M$的坐标；
（3）点$B$在抛物线$C_{2}$上，且横坐标为$6$，过点$B$的直线$l$与抛物线$C_{2}$有且仅有一个公共点。
①求出直线$l$的解析式；
②平移直线$l$得到$l'$，直线$l'$与抛物线$C_{2}$交于$E$，$F$两点，直线$AE$，$AF$与$x$轴分别交于$P$，$Q$两点，设点$P$，$Q$的横坐标分别为$p$，$q$，直接写出$p$，$q$之间的关系式。

答案： 解：
(1)由题意得点A的坐标为$(0,5)$，
∵抛物线$C_{2}$的顶点坐标为$(3,-4)$，
$\therefore$设抛物线$C_{2}$的解析式为$y=a(x-3)^{2}-4$，将$A(0,5)$代入，
得$5=a(0-3)^{2}-4$，解得$a=1$，
$\therefore$抛物线$C_{2}$的解析式为$y=(x-3)^{2}-4$，即$y=x^{2}-6x+5$；
(2)
∵$C_{1}$与$C_{2}$关于$y$轴对称，抛物线$C_{2}$的对称轴为直线$x=3$，
$\therefore$抛物线$C_{1}$的对称轴为直线$x=-3$，
$\therefore-\frac{b}{2×1}=-3$，$\therefore b=6$；
$\therefore$抛物线$C_{1}:y=x^{2}+6x+5$．
当$y=0$时，$0=x^{2}+6x+5$，解得$x_{1}=-5$，$x_{2}=-1$，
∵点M为抛物线$C_{1}$与$x$轴的左交点，
$\therefore$点M的坐标为$(-5,0)$；
(3)①点B在抛物线$C_{2}$上，且横坐标为6，
$\therefore$当$x=6$时，$y=6^{2}-6×6+5=5$，即$B(6,5)$，
设直线l的解析式为$y=kx+g$，
将$B(6,5)$代入，得$5=6k+g$，即$g=5-6k$，$\therefore$直线l的解析式为$y=kx-6k+5$．
∵过点B的直线l与抛物线$C_{2}$有且仅有一个公共点，
$\therefore kx-6k+5=x^{2}-6x+5$有两个相等的实数解，即$x^{2}-(k+6)x+6k=0$有两个相等的实数解，$\therefore\Delta=[-(k+6)]^{2}-4×1×6k=0$，解得$k_{1}=k_{2}=6$，
$\therefore$直线l的解析式为$y=6x-31$；
②$p+q=0$．提示：设直线$l'$的解析式为$y=6x+n$，由题意得$x^{2}-6x+5=6x+n$，整理得，$x^{2}-12x+5-n=0$，
$\because$直线$l'$与抛物线$C_{2}$交于E，F两点，
$\therefore$设$E(x_{e},x_{e}^{2}-6x_{e}+5)$，$F(x_{f},x_{f}^{2}-6x_{f}+5)$，$\therefore x_{e}+x_{f}=12$，设直线AE的解析式为$y=kx+b_{1}$，把$(0,5)$和$(x_{e},x_{e}^{2}-6x_{e}+5)$代入，得$\begin{cases} b_{1}=5 \\ kx_{e}+b_{1}=x_{e}^{2}-6x_{e}+5 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k_{1}=x_{e}-6 \\ b_{1}=5 \end{cases}$，$\therefore y=(x_{e}-6)x+5$，
同理可求直线AF的解析式为$y=(x_{f}-6)x+5$，令$y=0$，
对于直线$AE$，$0=(x_{e}-6)x+5$，$\therefore x=\frac{5}{6-x_{e}}$
对于直线AF，
$0=(x_{f}-6)x+5$，$\therefore x=\frac{5}{6-x_{f}}$
直线AE，AF与$x$轴分别交于P，Q两点，点P，Q的横坐标分别为$p,q$，
$\therefore p=\frac{5}{6-x_{e}}$，$q=\frac{5}{6-x_{f}}$
$\therefore p+q=\frac{5}{6-x_{e}}+\frac{5}{6-x_{f}}=\frac{5(6-x_{f})+5(6-x_{e})}{(6-x_{e})(6-x_{f})}=\frac{30-5x_{f}+30-5x_{e}}{(6-x_{e})(6-x_{f})}=\frac{60-5(x_{e}+x_{f})}{(6-x_{e})(6-x_{f})}$，
即$p+q=0$．

如图，抛物线$L_{1}:y = -\frac{1}{2}x(x + t)$（常数$t\gt0$）与$x$轴的负半轴交于点$G$，其顶点为$Q$。过点$Q$作$QM\perp x$轴于点$M$，交双曲线$L_{2}:y = \frac{k}{x}(x\lt0)$于点$P$，且$OG· MP = 4$。
（1）求$k$的值；
（2）当$t = 2$时，求$PQ$的长；
（3）当$P$是$QM$的中点时，求$t$的值；
（4）抛物线$L_{1}$与双曲线$L_{2}$所围成的区域（不含边界）内整点（点的横坐标与纵坐标均为整数）只有$1$个，直接写出$t$的取值范围。

答案：
解：
(1)由题意得点G的坐标为$(-t,0)$，
$\therefore$点M的坐标为$(-\frac{t}{2},0)$，$\therefore OG=t$．
$\because OG· MP=4$，$\therefore MP=\frac{4}{OG}=\frac{4}{t}$，
$\therefore$点P的坐标为$(-\frac{t}{2},\frac{4}{t})$，
把$P(-\frac{t}{2},\frac{4}{t})$代入$y=\frac{k}{x}$，
得$\frac{4}{t}=\frac{k}{-\frac{t}{2}}$，解得$k=-2$；
(2)由
(1)得双曲线$L_{2}:y=-\frac{2}{x}$，
当$t=2$时，抛物线$L_{1}:y=-\frac{1}{2}x(x+2)=-\frac{1}{2}x^{2}-x=-\frac{1}{2}(x+1)^{2}+\frac{1}{2}$
$\therefore$点Q的坐标为$(-1,\frac{1}{2})$，点P的横坐标为-1，
当$x=-1$时，在$y=-\frac{2}{x}$中，$y=-\frac{2}{-1}=2$，
$\therefore$点P的坐标为$(-1,2)$，
$\therefore PQ=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$；
(3)抛物线$L_{1}:y=-\frac{1}{2}x(x+t)=-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}tx=-\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}t)^{2}+\frac{1}{8}t^{2}$，
$\therefore$点Q的坐标为$(-\frac{1}{2}t,\frac{1}{8}t^{2})$．
$\because$P是QM的中点，
$\therefore$点P的坐标为$(-\frac{1}{2}t,\frac{1}{16}t^{2})$，
把$P(-\frac{1}{2}t,\frac{1}{16}t^{2})$代入$y=-\frac{2}{x}$，得$\frac{1}{16}t^{2}=-\frac{2}{-\frac{1}{2}t}$，解得$t=4$；
(4)$\frac{11}{3}＜t\leq4$．提示：由$L_{1}$与$L_{2}$围成的区域只有一个整点，
①如图1，$L_{1}$具有对称性，
$\therefore$当$x=-2$时，$y=-\frac{1}{2}×(-2)×(t-2)$满足$1＜y\leq2$，$\therefore1＜t-2\leq2$，解得$3＜t\leq4$，
当$x=-3$时，$y=-\frac{1}{2}×(-3)×(t-3)$满足$1＜y\leq2$，$\therefore1＜\frac{3}{2}(t-3)\leq2$，
解得$\frac{11}{3}＜t\leq\frac{13}{3}$，
$\therefore t$的取值范围是$\frac{11}{3}＜t\leq4$；

②如图2，当$x=-2$时，$y=t-2$满足$2＜y\leq3$，$\therefore2＜t-2\leq3$，解得$4＜t\leq5$，
当$x=-3$时，$y=\frac{3}{2}(t-3)$满足$0\leq y\leq1$，$\therefore0\leq\frac{3}{2}(t-3)\leq1$，解得$3\leq t\leq\frac{11}{3}$，此时无解；
综上，$t$的取值范围是$\frac{11}{3}＜t\leq4$．