《2026年中教万联中考总动员九年级数学河北专版》

1. [25·唐山模拟]“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律.请观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第 1 个等式：$2^{2}=1+1^{2}+2$；
第 2 个等式：$3^{2}=2+2^{2}+3$；
第 3 个等式：$4^{2}=3+3^{2}+4$；
第 4 个等式：$5^{2}=4+4^{2}+5$；
(1)请用此方法拆分 2025；
(2)请你用上面的方法归纳一般结论，列出第$n$个等式($n$为正整数)，并借助运算证明这个结论是正确的.

答案： 解：$(1)2025^{2}=2024+2024^{2}+2025；$
$(2)(n+1)^{2}=n+n^{2}+(n+1).$
证明：
∵右边$=n^{2}+n+1=n^{2}+2n+1=(n+1)^{2},$左边$=(n+1)^{2},$
∴左边=右边，
∴$(n+1)^{2}=n+n^{2}+(n+1)$成立.

2. [25·邯郸名校模考]下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中$A$，$B$是关于$n$的多项式.
例：先去括号，再合并同类项：$n(A)-6(B)$.
解：$n(A)-6(B)=n^{2}+6n-6n-6=·s$
(1)①直接写出：$A=$，$B=$；
②直接写出：原式的运算结果为；
(2)若$n$为任意正整数，试说明$(A+B)^{2}-4n^{2}$的值总能被 7 整除.

答案： 2. 解：$(1)①n+6 n+1 ②n^{2}-6$
(2)原式$=[(n+6)+(n+1)]^{2}-4n^{2}=(2n+7)^{2}-4n^{2}=4n^{2}+28n+49-4n^{2}=28n+49=7(4n+7),$
∴$(A+B)^{2}-4n^{2}$的值总能被7整除.

3. [25·湖北]幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空.

答案： 3. 解：
(1)5 11
(2)n+1 n+7
(3)11 3
(4)n+8 提示：
∵最小的数为n，则剩余的数分别为n+1,n+2,n+7,n+8,n+9,n+14,n+15,n+16,
∴3(n+g+n+16)=n+n+1+n+2+n+7+n+8+n+9+n+14+n+15+n+16,解得g=n+8.