《2026年中教万联中考总动员九年级数学河北专版》

例 1 [25·邯郸模拟] 如图，在△ABC 中，∠ACB=∠ABC，点 M 在 AB 边上，连接 CM，点 N 是△ACM 的内心，连接 CN，若∠NCB=50°，则∠CMB=80°.

答案： 例1 $80$ 

衍生一 变考法——融入外心
如图，点 I 和点 O 分别是△ABC 的内心和外心，若∠AIB=125°，则∠AOB 的度数为(D)

A.120°
B.125°
C.135°
D.140°

答案： 衍生一 D 

衍生二 变条件——与平移结合
如图，点 I 为△ABC 的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB 平移使其顶点与 I 重合，则图中阴影部分的周长为(B)

A.4.5
B.4
C.3
D.2

答案： 衍生二 B

例 2 [25·邢台模拟] 如图，正方形 ABCD 的边长是 6 cm，E 是 CD 边的中点.将该正方形沿 BE 折叠，点 C 落在点 C'处.⊙O 分别与 AB，AD，BC'相切，切点分别为 F，G，H，则⊙O 的半径为$\frac{3}{2}$cm.

答案： 例2 $\frac{3}{2}$

练习一 [25·深圳] 如图 1，在 Rt△ABC 中，D 是 AB 的中点，AE=CD，AD=EC.
(1)求证：四边形 ADCE 为菱形；
(2)如图 2，若 O 为 AC 上一点，且 E，A，D 三点均在⊙O 上，连接 OD，CD 与⊙O 相切于点 D，
①∠ACD=；
②AC=4，求⊙O 的半径 r；
(3)利用圆规和无刻度直尺在图 2 中作射线 DF//AC，交 BC 于点 F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由.

答案：
练习一 解：
(1)证明：$\because AD = CE$，$CD = AE$，$\therefore$四边形$ADCE$为平行四边形，
在$Rt\triangle ABC$中，$\because D$为$AB$的中点，
$\therefore CD = \frac{1}{2}AB = AD = BD$，
$\therefore$平行四边形$ADCE$为菱形；
(2)①$30^{\circ}$
②$\because AC = 4$，$\odot O$的半径为$r$，
$\therefore OC = 4 - r$，
$\because CD$与$\odot O$相切于点$D$，
$\therefore OD\perp CD$，$\angle CDO = 90^{\circ}$，
$\because\angle ACD = 30^{\circ}$，
$\therefore\sin\angle ACD = \frac{OD}{OC} = \frac{r}{4 - r} = \frac{1}{2}$，
解得$r = \frac{4}{3}$，经检验$r = \frac{4}{3}$是方程的解；
(3)作图如图：

练习二 [24·河北 25 题] 已知⊙O 的半径为 3，弦 MN=2$\sqrt{5}$.在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=3$\sqrt{2}$.在平面上，先将△ABC 和⊙O 按图 1 位置摆放(点 B 与点 N 重合，点 A 在⊙O 上，点 C 在⊙O 内)，随后移动△ABC，使点 B 在弦 MN 上移动，点 A 始终在⊙O 上随之移动.设 BN=x.
(1)当点 B 与点 N 重合时，求劣弧$\widehat{AN}$的长；
(2)当 OA//MN 时，如图 2，求点 B 到 OA 的距离，并求此时 x 的值；
(3)设点 O 到 BC 的距离为 d.
①当点 A 在劣弧$\widehat{MN}$上，且过点 A 的切线与 AC 垂直时，求 d 的值；
②直接写出 d 的最小值.

答案：
练习二 解：如图1，连接OA，OB.

∵⊙O的半径为3，AB=3，

∴OA=OB=AB=3，

∴△AOB为等边三角形，

∴∠AOB=60∘，

∴劣弧AN⌢的长为18060π×3​=π；

(2)如图2，过点B作BI⊥OA于点I，过点O作OH⊥MN于点H，连接MO.
∵OA//MN，
∴∠IBH=∠BHO=∠HOI=∠BIO=90∘，
∴四边形BIOH是矩形，
∴BH=OI，BI=OH.
∵MN=25​ ，OH⊥MN，
∴MH=NH=5​，而OM=3，
∴OH=OM2−MH2​=2=BI，
∴点B到OA的距离为2；

∵AB=3，BI⊥OA，
∴AI=AB2−BI2​=5​ ，
∴OI=OA−AI=3−5​=BH，
∴x=BN=BH+NH=3−5​+5​=3；

(3)①如图3，过点O作OJ⊥BC于点J，OK⊥AB于点K.
∵∠ABC=90∘，过点A的切线与AC垂直，AC过圆心O，易得四边形KOJB为矩形，
∴OJ=KB.
∵AB=3，BC=32​ ，
∴AC=AB2+BC2​=33​ ，
∴cos∠BAC=ACAB​=33​3​=3​1​=AOAK​ ，
∴AK=3​ ，
∴OJ=BK=3−3​ ，即d=3−3​；

②32​
提示：如图4，当B为MN的中点时，过点O作OL⊥B′C′于点L，OJ⊥BC于点J.
∵∠OJL＞90∘，
∴OL＞OJ，
∴当B为MN中点时，d最小.
如图5，连接OB，过点A作AQ⊥OB于点Q.
∵B为MN的中点，
∴OB⊥MN，同
(2)可得OB=2，
∴BQ=OQ=1，
∴AQ=32−12​=22​.

∵∠ABC=90∘=∠AQB，

∴∠OBJ+∠ABO=90∘=∠ABO+∠BAQ，
∴∠OBJ=∠BAQ，

∴tan∠OBJ=tan∠BAQ，

∴BJOJ​=AQBQ​=22​1​.
设OJ=m，则BJ=22​m.

∵OJ2+BJ2=OB2，
∴m2+(22​m)2=22，
解得m=32​（负值已舍去），
∴OJ的最小值为32​，即d的最小值为32​.