《2026年中教万联中考总动员九年级数学河北专版》

例 3 如图，$PA = \sqrt{2}$，$PB = 4$，以 $AB$ 为一边作正方形 $ABCD$，使 $P$，$D$ 两点落在直线 $AB$ 的两侧。当 $\angle APB = 45^{\circ}$ 时，求 $AB$ 的长。

拓题一 在已知条件下，求 $PD$ 的长；
拓题二 当 $\angle APB$ 变化，但其他条件不变时，求 $PD$ 的最大值及相应 $\angle APB$ 的大小。

答案：
例3　解:
(1)如图1,过点A作AE⊥PB于点E;在Rt△APE中，∠APE = 45°，PA = $\sqrt{2}$，
∴AE = PE = $\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 1。
∵PB = 4，
∴BE = PB - PE = 3。
在Rt△ABE中，∠AEB = 90°，
∴AB = $\sqrt{AE² + BE²}$ = $\sqrt{10}$。

拓题一　解:如图2,由四边形ABCD为正方形,可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB,可得△PAD≌△P'AB，PD = P'B，PA = P′A，∠PAP' = 90°，
∴∠APP' = 45°，∠P'PB = 90°，PP' = $\sqrt{2}$PA = 2，
∴PD = P’B = $\sqrt{PP'² + PB²}$ = $\sqrt{2² + 4²}$ = 2$\sqrt{5}$。

拓题二　解:如图3,将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB,PD的最大值即为P'B的最大值。在△P'PB中，P'B ＜ PP' + PB，PP' = $\sqrt{2}$PA = 2，PB = 4，且P，D两点落在直线AB的两侧，
∴当P'，P，B三点共线时，P'B取得最大值(如图4)，此时P'B = PP' + PB = 6，即P'B的最大值为6，
∴PD的最大值为6，此时∠APB = 180° - ∠APP' = 135°。

例 4 [25·河北 23 题] 综合与实践
【情境】要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板(如图 1)，需找到合适的切割线。
【模型】已知矩形 $ABCD$(数据如图 2 所示)。作一条直线 $MN$，使 $MN$ 与 $BC$ 所夹的锐角为 $45^{\circ}$，且将矩形 $ABCD$ 分成周长相等的两部分。
【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题。
 
【探究】根据以上描述，解决下列问题。
(1) 图 2 中，矩形 $ABCD$ 的周长为；
(2) 在图 3 的基础上，用尺规作图作出直线 $MN$(作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法)；
(3) 根据淇淇的作图过程，请说明图 4 中的直线 $MN$ 符合要求；
【拓展】操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题。
(4) 如图 5，若直线 $PQ$ 将矩形 $ABCD$ 分成周长相等的两部分，分别交边 $AD$，$BC$ 于点 $P$，$Q$，过点 $B$ 作 $BH \perp PQ$ 于点 $H$，连接 $CH$。
①当 $\angle PQC = 45^{\circ}$ 时，求 $\tan \angle BCH$ 的值；
②当 $\angle BCH$ 最大时，直接写出 $CH$ 的长。

练习 [24·河北 23 题]
情境 图 1 是由正方形纸片去掉一个以中心 $O$ 为顶点的等腰直角三角形后得到的。该纸片通过裁剪，可拼接为图 2 所示的钻石型五边形，数据如图所示。
(说明：纸片不折叠，拼接不重叠、无缝隙、无剩余)
操作 嘉嘉将图 1 所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形。
如图 3，嘉嘉沿虚线 $EF$，$GH$ 裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图 4 所示进行拼接。根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
(1) 直接写出线段 $EF$ 的长；
(2) 直接写出图 3 中所有与线段 $BE$ 相等的线段，并计算 $BE$ 的长。
探究 淇淇说：将图 1 所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形。
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图 5 所示纸片的 $BC$ 边上找一点 $P$(可以借助刻度尺或圆规)，画出裁剪线(线段 $PQ$)的位置，并直接写出 $BP$ 的长。

答案：
例4　解:
(1)10　提示:
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB = CD，AD = BC，
∵AB = 1，AD = 4，
∴CD = AB = 1，BC = AD = 4，
∴矩形ABCD的周长为2(AB + AD) = 2×(1 + 4) = 10。
(2)如图1,线段MN即为所求。

(3)证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B = 90°，AD//BC，
∵BG = AB，
∴∠AGB = 45°，AN = MG，
∴四边形AGMN是平行四边形，
∴MN//AG，
∴∠NMG = ∠AGB = 45°，
∵直线l是GC的垂直平分线，
∴GM = CM，
∴GM = CM = AN，
∵BM = BC - CM，DN = AD - AN，
∴BM = DN，
∴AN + AB + BM = CM + CD + DN，
∴MN把矩形ABCD分成了周长相等的两部分，
∴直线MN符合要求。
(4)①如图2,过点H作HG⊥BC于点G,过点P作PK⊥BC于点K。

∵四边形ABCD是矩形，且直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，
∴AP = CQ，PD = BQ，AB = DC = PK = 1，
∵∠PQC = 45°，
∴△PQK是等腰直角三角形，
∴QK = PK = 1，由题意知，四边形PDCK是矩形，
∴KC = PD，
∴KC = BQ，
∵BQ + KC + QK = 4，BQ = $\frac{3}{2}$，
∴CQ = QK + KC = $\frac{5}{2}$，
∵BH⊥PQ于点H，
∴∠BHQ = 90°，
∵∠BQH = ∠PQC = 45°，
∴△BHQ是等腰直角三角形，
∴HG = GQ = $\frac{1}{2}$BQ = $\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$ = $\frac{3}{4}$，
∴CG = CQ + GQ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{13}{4}$，
∴tan∠BCH = $\frac{HG}{CG}$ = $\frac{\frac{3}{4}}{\frac{13}{4}}$ = $\frac{3}{13}$。
②CH = 2$\sqrt{2}$
提示:如图3,连接BD交PQ于点O，取BO的中点为L。

∵PQ把矩形ABCD分成了周长相等的两部分，
∴O为BD和PQ的中点，
∵BH⊥PQ，
∴点H在以BO为直径的⊙L上，作⊙L，连接LH，当CH与⊙L相切时，∠BCH最大，
∵AB = 1，AD = 4，
∴BD = $\sqrt{1² + 4²}$ = $\sqrt{17}$，
∴BO = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∴LH = BL = OL = $\frac{\sqrt{17}}{4}$，过点L作LT⊥BC于点T，连接CL，
∴∠BTL = 90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD = 90°，
∴TL//CD，则△BLT∽△BDC，
∴$\frac{BL}{BD}$ = $\frac{LT}{CD}$ = $\frac{BT}{BC}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{17}}{4}}{\sqrt{17}}$ = $\frac{LT}{1}$ = $\frac{BT}{4}$，LT = $\frac{1}{4}$，BT = 1，
∴CT = BC - BT = 4 - 1 = 3，
∴CL² = TL² + CT² = $\frac{145}{16}$，
∵CH是⊙L的切线，
∴∠CHL = 90°，
∴CH = $\sqrt{CL² - HL²}$ = $\sqrt{\frac{145}{16} - (\frac{\sqrt{17}}{4})^{2}}$ = $\sqrt{\frac{145}{16} - \frac{17}{16}}$ = $\sqrt{8}$ = 2$\sqrt{2}$。
练习　解:
(1)线段EF的长为1。
提示:如图1,过点G'作G'K⊥FH'于点K，结合题意可得四边形FOG'K为矩形，
∴FO = KG'。由拼接可得，HF = FO = KG'。由正方形的性质可得∠A = ∠H'DG' = 45°，
∴△AHG，△H'G'D，△AFE均为等腰直角三角形，
∴△G'KH'为等腰直角三角形，设H'K = KG' = x，
∴H'G' = H'D = $\sqrt{2}$x，
∴AH = HG = $\sqrt{2}$x，HF = FO = x。
∵正方形的边长为2，
∴对角线的长为$\sqrt{2² + 2²}$ = 2$\sqrt{2}$，
∴OA = $\sqrt{2}$，
∴x + x + $\sqrt{2}$x = $\sqrt{2}$，解得x = $\sqrt{2}$ - 1，EF = AF = ($\sqrt{2}$ + 1)x = ($\sqrt{2}$ + 1)($\sqrt{2}$ - 1) = 1。

(2)
∵△AFE为等腰直角三角形，EF = AF = 1，
∴AE = $\sqrt{2}$EF = $\sqrt{2}$，
∴BE = 2 - $\sqrt{2}$。
∵GE = H'G' = $\sqrt{2}$x = $\sqrt{2}$($\sqrt{2}$ - 1) = 2 - $\sqrt{2}$，AH = GH = $\sqrt{2}$x = 2 - $\sqrt{2}$，
∴BE = GE = AH = GH。
探究　如图2,以点B为圆心，BO长为半径画弧交BC于点P，交AB于点Q，则直线PQ为分割线，此时BP = $\sqrt{2}$，PQ = $\sqrt{2 + 2}$ = 2，符合要求；或以点C为圆心，CO长为半径画弧，交BC于点P'，交CD于点Q'，则直线P'Q'为分割线，此时CP' = CQ' = $\sqrt{2}$，PQ' = $\sqrt{2 + 2}$ = 2，BP' = 2 - $\sqrt{2}$。
综上，BP的长为$\sqrt{2}$或2 - $\sqrt{2}$。