《2026年中教万联中考总动员九年级数学河北专版》

练习三 【综合与实践】数学来源于生活,同时数学也可以服务于生活.
【知识背景】如图,校园中有两面直角围墙,墙角内的 $P$ 处有一棵古树,与墙 $CD$,$AD$ 的距离分别是 $15$ m 和 $6$ m,在美化校园的活动中,某数学兴趣小组想借助围墙(两边足够长),用 $28$ m 长的篱笆围成一个矩形花园 $ABCD$(篱笆只围 $AB$,$BC$ 两边),设 $AB = x$ m.
【方案设计】设计一个矩形花园,使之面积最大,且要将古树 $P$ 围在花园内(含边界,不考虑树的粗细).
【解决问题】思路:把矩形 $ABCD$ 的面积 $S$ 与 $AB$ 的长 $x$ 的函数解析式求出,并利用函数的性质来求面积的最大值即可.
(1)请用含有 $x$ 的代数式表示 $BC$ 的长；
(2)花园的面积能否为 $192$ $m^2$？若能,求出 $x$ 的值；若不能,请说明理由；
(3)求面积 $S$ 与 $x$ 的函数解析式,写出 $x$ 的取值范围；并求当 $x$ 为何值时,花园面积 $S$ 最大.

答案： 解：
(1)
∵AB=x m，
∴BC=(28-x)m；
(2)
∵AB=x m，BC=(28-x)m，
∴x(28-x)=192，
解得x=12或x=16（由于树与墙CD的距离是15 m，从而x=16不合题意，舍去），而花园的面积能等于$192 m^{2}，$此时x的值为12；
$(3)S=x(28-x)=-x^{2}+28x=-(x-14)^{2}+196.$
∵点P与CD,AD的距离分别是15 m和6 m，而28-15=13，
∴6≤x≤13.
∴面积S与x的函数解析式为$S=-(x-14)^{2}+196(6≤x≤13).$
∵-1＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线x=14，
∴当6≤x≤13时，S随x的增大而增大，
∴当x=13时，S取得最大值，为$-(13-14)^{2}+196=195，$
即当x=13 m时，花园面积S最大，最大为$195 m^{2}.$

练习四 如图,斜坡 $AC$ 上种有若干树木,底部有一喷水管 $BC$,某时刻从 $B$ 处喷出的水流恰好落在 $A$ 处,水流呈抛物线状.建立恰当的平面直角坐标系,得到点 $A(0,2)$,$B(6,0.5)$.已知喷水管 $BC$ 及所有树木都与 $OC$ 垂直,抛物线的解析式为 $y = -\frac{1}{8}x^2 + bx + c$.
(1)求抛物线的解析式,并写出其顶点坐标；
(2)若抛物线恰好过小树 $MN$ 的树顶 $N$,点 $M$ 在斜坡 $AC$ 上,且点 $A$ 到 $M$,$N$ 两点距离相等,求点 $M$ 的坐标；
(3)若 $DE$,$MN$ 为两棵等高小树($MN$ 在左侧,小树粗细忽略不计,点 $M$,$D$ 均在斜坡上且与点 $C$ 不重合),抛物线恰好经过 $E$,$N$ 两点.
①当 $MN = 1.25$ 时,求 $DM$ 的长；
②直接写出点 $M$ 的横坐标 $m$ 的取值范围.

答案： 解：
(1)由题意可得：$\begin{cases}2=c,\\0.5=-\frac{1}{8}×36+6b+c,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=\frac{1}{2},\\c=2,\end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{1}{2}x+2=-\frac{1}{8}(x-2)^{2}+\frac{5}{2}$
∴抛物线的顶点坐标为$(2,\frac{5}{2})；$
(2)
∵点B(6,0.5)，BC⊥OC，点C在x轴上，
∴C(6,0).
∵A(0,2)，
∴可设直线AC的解析式为y=kx+2，把C(6,0)代入得0=6k+2，解得$k=-\frac{1}{3}，$
故直线AC的解析式为$y=-\frac{1}{3}x+2，$
设$M(m,-\frac{1}{3}m+2)(m＞0)，$
∵A到M,N两点距离相等，MN⊥x轴，
∴$y_{M}+y_{N}=2y_{A}=4，$
∴$y_{N}=\frac{1}{3}m+2，$
∴$N(m,\frac{1}{3}m+2).$
∵点N在抛物线上，
∴$\frac{1}{3}m+2=-\frac{1}{8}m^{2}+\frac{1}{2}m+2，$
整理得m(3m-4)=0，
解得$m_{1}=0($舍去)，$m_{2}=\frac{4}{3}$
此时$-\frac{1}{3}m+2=\frac{14}{9}，$
∴$M(\frac{4}{3},\frac{14}{9})；$
(3)①令$d=(-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{1}{2}x+2)-(-\frac{1}{3}x+2)=-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{5}{6}x，$则d表示小树高，
∵MN=DE=1.25，即d=1.25，
∴$-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{5}{6}x=1.25，$整理得$3x^{2}-20x+30=0，$
解得$x_{1}=\frac{10-\sqrt{10}}{3}，$$x_{2}=\frac{10+\sqrt{10}}{3}，$
∵MN在DE左侧，故$x_{M}=\frac{10-\sqrt{10}}{3}，$$x_{N}=\frac{10+\sqrt{10}}{3}，$
∴$DM=\frac{x_{N}-x_{M}}{\cos∠ACO}=\frac{\frac{10+\sqrt{10}}{3}-\frac{10-\sqrt{10}}{3}}{\frac{6}{\sqrt{6^{2}+2^{2}}}}=\frac{20}{9}；$
$②\frac{2}{3}＜m＜\frac{10}{3}。$ 提示：设$MN=DE=d_{0}，$则$d=-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{5}{6}x=d_{0}$在0＜x＜6上有两解，且m为其中较小解，
即直线$d=d_{0}$与抛物线$d=-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{5}{6}x$在0＜x＜6上有两交点，
当x=6时，$d=-\frac{1}{8}×6^{2}+5=\frac{1}{2}$
令$-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{5}{6}x=\frac{1}{2}，$得$x_{1}=\frac{2}{3}，$$x_{2}=6($舍去)，
∴$\frac{2}{3}＜m＜6，$
又$d=-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{5}{6}x=-\frac{1}{8}(x-\frac{10}{3})^{2}+\frac{25}{18}，$
对称轴为$x=\frac{10}{3}，$m为直线$d=d_{0}$与抛物线$d=-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{5}{6}x$两交点中靠左一点的横坐标，故m＜\frac{10}{3}，综上，$\frac{2}{3}＜m＜\frac{10}{3}。$