《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

9. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水面D，视线BD与井口的直径AC相交于点E，如果测得AB = 2 m，AC = 3.2 m，AE = 0.8 m，那么CD为6m。

答案： 9.6

10. 如图所示，在数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小亮在地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记点C，小亮看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端点A在镜子中的像与标记点C重合。经测量，小亮的眼睛离地面的高度DE为1.6 m，小亮与标记点C的距离CE为2 m，标记点C与旗杆底部点B的距离BC为12 m。

(1)在图中建立适当的平面直角坐标系，并直接写出点C，D的坐标。
(2)在(1)的条件下，求直线AC的表达式及旗杆的高度。

答案： 10.解：
(1)以C为原点，直线EB为x轴，过点C的BE的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则$C(0,0)$, $D(-2,1.6)$.
(2)直线AC的表达式为$y = 0.8x$.
旗杆的高度为9.6m.

11. 如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(2，3)，C(4，1)。
(1)画出与△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁。
(2)以原点O为位似中心，在第二象限内画一个△A₂B₂C₂，使它与△A₁B₁C₁的相似比为2，并写出点B₂的坐标。

答案：
11.解：
(1)如图所示，$\triangle A_1B_1C_1$为所作.
(2)如图所示，$\triangle A_2B_2C_2$为所作，点$B_2$的坐标为$(-4,6)$.

12. 如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边作等边△ABP，连接AC，PD，PC，下列结论正确的有(D)
①∠BCP = 75° ②△ADP≌△BCP
③△ADP和△ABC的面积比为1∶2
④$S_{△CDP}=\frac{1}{4}CP^2$


A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 12.D 解析：由正方形的性质和等边三角形的性质可得$AB = BP = BC$, $\angle ABC = 90°$, $\angle ABP = 60°$, 由等腰三角形的性质可得$\angle BCP = \angle BPC = 75°$, 结论①正确; 利用$SAS$证明$\triangle DAP \cong \triangle CBP$, 可判断结论②正确; 由三角形的面积公式可得$\triangle ADP$和$\triangle ABC$的面积比为$1:2$, 可判断结论③正确; 过点C作$CN \perp DP$, 交DP的延长线于点N,
由直角三角形的性质可得$CN = \frac{1}{2}PC$, 可得④正确.