《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

9. 【发现问题】某学习小组发现：三角形一个角的平分线截第三边形成的两条线段的比等于这个三角形中对应的两边之比。
如图 1 所示，在 $\triangle ABC$ 中，$AD$ 平分 $\angle BAC$，则 $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$。
【猜想验证】下面是【发现问题】的不完整的证明过程。
证明：如图 2 所示，过点 $B$ 作 $BE // AC$，交 $AD$ 的延长线于点 $E·s·s$
(1) 请按照上面的证明思路，补全证明过程。
(2) 【拓展应用】如图 3 所示，已知在 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AC = 6$，$BC =$ $10$，$CD$ 平分 $\angle ACB$，则 $AD =$$\frac{3}{5}$。

答案： 9.
(1)解：过点$B$作$BE // AC$，交$AD$的延长线于点$E$，图略，
$\therefore \angle CAD=\angle E,\angle BDE=\angle CDA$.
$\therefore \triangle BDE \sim \triangle CDA$.
$\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{BE}{CA}$.
$\because AD$平分$\angle BAC,\therefore \angle BAD=\angle CAD$.
$\because \angle CAD=\angle E,\therefore \angle BAD=\angle E$.
$\therefore AB=BE$.
$\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{BE}{CA}=\frac{AB}{AC}$.
(2)$\frac{3}{5}$ 解析：$\because$在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ},AC=6,BC=10$,
$\therefore AB=\sqrt{BC^{2}-AC^{2}}=\sqrt{100 - 36}=8$.
$\because CD$平分$\angle ACB$,
$\therefore \angle ACD=\angle DCB$.
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC}$,即$\frac{AD}{8 - AD}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$,
解得$AD=3$.

1. 如图所示，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网 5m 的位置上，则球拍击球的高度 h 应为(A)


A.2.7m
B.1.8m
C.0.9m
D.6m

答案： 1.A

2. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何.”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的意思是已知井的截面图为矩形 ABCD，设井深为 x 尺，下列所列方程正确的是(D)


A.$\frac{5}{x}=\frac{0.4}{5}$
B.$\frac{x}{5 + x}=\frac{5}{0.4}$
C.$\frac{x}{5 - x}=\frac{0.4}{5}$
D.$\frac{5}{5 + x}=\frac{0.4}{5}$

答案： 2.D

3. 如图所示，A，B 两点被池塘隔开，在 AB 外取一点 C，连接 AC，BC，在 AC 上取点 E，使 AE = 3EC，作 EF//AB，交 BC 于点 F，量得 EF = 6m，则 AB 的长为(B)


A.30m
B.24m
C.18m
D.12m

答案： 3.B