《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

10. 如图所示，在$\triangle ABC$中，$BA = BC = 20\mathrm{cm}$，$AC = 30\mathrm{cm}$，点$P$从点$A$出发，沿着$AB$以$4\mathrm{cm}/\mathrm{s}$的速度向点$B$运动；同时点$Q$从点$C$出发，沿着$CA$以$3\mathrm{cm}/\mathrm{s}$的速度向点$A$运动，设运动时间为$x\mathrm{s}$。
(1)当$x$为何值时，$PQ// BC$？
(2)是否存在某一时刻，使$\triangle APQ\backsim\triangle CQB$？若存在，求出此时$AP$的长；若不存在，请说明理由。

答案： 10.解：
(1)由题意得运动xs时，AP=4xcm，BP=(20-4x)cm，CQ=3xcm，AQ=(30-3x)cm。
当PQ//BC时，$\frac{AP}{BP}=\frac{AQ}{CQ}$，
∴$\frac{4x}{20-4x}=\frac{30-3x}{3x}$，即$\frac{x}{5-x}=\frac{10-x}{x}$，
整理得50-15x=0，
解得$x=\frac{10}{3}$。
即当$x=\frac{10}{3}$时，PQ//BC。
(2)存在一个时刻，使△APQ∽△CQB。
∵BA=BC，
∴∠A=∠C。
当$\frac{AP}{AQ}=\frac{CQ}{BC}$时，△APQ∽△CQB。
∴$\frac{AP}{AQ}=\frac{CQ}{BC}$，$\frac{4x}{30-3x}=\frac{3x}{20}$，
整理得$9x^{2}-10x=0$，
解得$x_{1}=0$(不合题意，舍去)，$x_{2}=\frac{10}{9}$。
当$x=\frac{10}{9}$时，$AP=4x=\frac{40}{9}$cm。

1. 如图所示，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，下列阴影部分的三角形与△ABC相似的是(A)

答案： 1.A

2. 若△ABC和△DEF满足下列条件，则使△ABC与△DEF相似的是(A)

A.AB=6，BC=6，AC=9，DE=4，EF=4，DF=6
B.AB=4，BC=6，AC=8，DE=6，EF=10，DF=15
C.AB=1，BC=$\sqrt{2}$，AC=2，DE=$\sqrt{6}$，EF=$\sqrt{3}$，DF=$\sqrt{5}$
D.AB=1，BC=$\sqrt{5}$，AC=3，DE=$\sqrt{15}$，EF=2$\sqrt{3}$，DF=$\sqrt{6}$

答案： 2.A

3. 如图所示，四个三角形的顶点都在正方形方格的格点上，下列两个三角形相似的是(B)


A.①④
B.①③
C.②③
D.②④

答案： 3.B

4. 如图所示，O是△ABC内任意一点，D，E，F分别为AO，BO，CO上的点，且AD=$\frac{1}{3}$AO，BE=$\frac{1}{3}$BO，CF=$\frac{1}{3}$CO，则△ABC∽△DEF，相似比是$\frac{3}{2}$。

答案： 4.$\frac{3}{2}$