《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

1. 若 $ x = 1 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+mx - 3 = 0 $ 的一个根，则 $ m $ 的值是(D)

A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$

答案： 1.D

2. 若一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 中的 $ a,b,c $ 满足 $ a + b + c = 0 $，则方程必有根(B)

A.$ x = 0 $
B.$ x = 1 $
C.$ x = -1 $
D.$ x = \pm 1 $

答案： 2.B

3. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ mx^{2}+nx - 2 = 0 $ 的一个根是 $ x = 1 $，则代数式 $ 2m + 2n $ 的值为(D)

A.$-2$
B.$0$
C.$1$
D.$4$

答案： 3.D

4. 已知 $ a $ 是方程 $ x^{2}+2x - 2 = 0 $ 的一个根，则代数式 $ (a + 1)^{2} $ 的值为3。

答案： 4.3

5. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a + 3)x^{2}-4x + a^{2}-9 = 0 $ 有一个根为 $ 0 $，则 $ a $ 的值为3。

答案： 5.3

6. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a + c)x^{2}+2bx + (a - c) = 0 $，其中 $ a,b,c $ 分别为 $ \triangle ABC $ 三边的长。如果 $ x = -1 $ 是方程的根，试判断 $ \triangle ABC $ 的形状，并说明理由。

答案： 6.解：△ABC为等腰三角形.
理由：把x = -1代入方程得a + c - 2b + a - c = 0，则a = b，所以△ABC为等腰三角形.

7. 已知 $ m $ 是一元二次方程 $ 2x^{2}-x - 3 = 0 $ 的一个根，则 $ 2028 - 2m^{2}+m $ 的值为(A)

A.$2025$
B.$2023$
C.$2027$
D.$2022$

答案： 7.A

8. 若 $ x = a $ 是方程 $ x^{2}+2x - 8 = 0 $ 的一个实数根，则 $ 2a^{2}+4a + 2025 = $2041。

答案： 8.2041

9. 已知 $ x = m $ 是一元二次方程 $ x^{2}-x - 1 = 0 $ 的一个根，则代数式 $ 2025 - m^{2}+m = $2024。

答案： 9.2024

10. 老师在黑板上写了一道题：若方程 $ x^{2}-6x - k - 1 = 0 $ 与 $ x^{2}-kx - 7 = 0 $ 有相同的根，试求 $ k $ 的值及相同的根。小聪思考片刻后，解答如下：
解：设相同的根为 $ m $，
根据题意得 $ \begin{cases}m^{2}-6m - k - 1 = 0, & ①\\m^{2}-km - 7 = 0, & ②\end{cases} $
$ ① - ② $，得 $ (k - 6)m = k - 6 $。 ③
显然，当 $ k = 6 $ 时，两个方程相同，即两个方程有两个相同的根 $-1$ 和 $7$；当 $ k \neq 6 $ 时，由③得 $ m = 1 $，代入②，得 $ k = -6 $，此时两个方程有一个相同的根 $1$。
$ \therefore $ 当 $ k = -6 $ 时，有一个相同的根 $1$；当 $ k = 6 $ 时，有两个相同的根 $-1$ 和 $7$。
聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知 $ k $ 为非负实数，当 $ k $ 取什么值时，关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+kx - 1 = 0 $ 与 $ x^{2}+x + k - 2 = 0 $ 有相同的实根？

答案： 10.解：设相同的实根是a则$a^{2} + ka - 1 = 0，$
$a^{2} + a + k - 2 = 0，$
两式相减得(k - 1)a - 1 - k + 2 = 0，
即(k - 1)a = k - 1.
若k = 1，则两个方程都是$x^{2} + x - 1 = 0，$有
两个相同的根$\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$和$\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}.$
若k ≠ 1，则$a = \frac{k - 1}{k - 1} = 1，$
即相同的实根是x = 1，
代入方程，得$1^{2} + k×1 - 1 = 0，$k = 0.
综上所述，当k = 0或k = 1时，关于x的方
程$x^{2} + kx - 1 = 0$与$x^{2} + x + k - 2 = 0$有相
同的实根.