《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

8. 如图所示，△ABC 与△DEF 位似，点 O 为位似中心。
(1)若△ABC 与△DEF 的相似比为 $\frac{1}{2}$，AC = 2，求 DF 的长。
(2)若∠O = 22°，∠ABC = 38°，求∠OFE 的度数。

答案： $8.(1)4. (2)120^{\circ}.$

9. 如图所示，这是由位似的正三角形 A₁B₁C₁、正三角形 A₂B₂C₂、正三角形 A₃B₃C₃、…、正三角形 AₙBₙCₙ组成的相似图形，其中第一个△A₁B₁C₁的边长为 1，O 是 B₁C₁的中点，A₂是 OA₁的中点，A₃是 OA₂的中点……Aₙ是 OAₙ₋₁的中点，顶点 B₂，B₃，…，Bₙ，C₂，C₃，…，Cₙ都在 B₁C₁边上。
(1)试写出△A₁₀B₁₀C₁₀和△A₇B₇C₇的相似比和位似中心。
(2)求出第 n 个正三角形 AₙBₙCₙ(n≥2)的周长。

答案： 9.解：
(1)
∵$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的边长为1，
O是$B_{1}C_{1}$的中点，$A_{2}$是$OA_{1}$的中点，
$\therefore$正三角形$A_{2}B_{2}C_{2}$的边长为$\frac{1}{2}，$
正三角形$A_{3}B_{3}C_{3}$的边长为$(\frac{1}{2})^{2}，$
正三角形$A_{10}B_{10}C_{10}$的边长为$(\frac{1}{2})^{9}，$
正三角形$A_{7}B_{7}C_{7}$的边长为$(\frac{1}{2})^{6}，$
$\therefore$正三角形$A_{10}B_{10}C_{10}$和正三角形$A_{7}B_{7}C_{7}$
的相似比$=\frac{(\frac{1}{2})^{9}}{(\frac{1}{2})^{6}}=\frac{1}{8}，$它们的位似中心为
点O。
(2)
∵第n个正三角形$A_{n}B_{n}C_{n}(n\geqslant2)$的边
长为$(\frac{1}{2})^{n-1}，$
$\therefore$第n个正三角形$A_{n}B_{n}C_{n}(n\geqslant2)$的周长
为$\frac{3}{2^{n-1}}。$

1. 如图所示，在直角坐标系中，点 $ P $ 的坐标是 $ (1,0) $，点 $ A $ 的坐标是 $ (0,1) $，线段 $ CD $ 是由线段 $ AB $ 以点 $ P $ 为位似中心放大 $ 3 $ 倍得到的，则点 $ C $ 的坐标是(A)


A.$ (-2,3) $
B.$ (-2,4) $
C.$ (-3,3) $
D.$ (-3,4) $

答案： 1.A

2. 如图所示，在平面直角坐标系中，$ \triangle ABC $ 和 $ \triangle A'B'C' $ 位似，位似中心为原点 $ O $，点 $ A(-1,2) $，$ A'(2,-4) $。若 $ \triangle ABC $ 的面积为 $ 4 $，则 $ \triangle A'B'C' $ 的面积是(D)


A.$ 2 $
B.$ 4 $
C.$ 8 $
D.$ 16 $

答案： 2.D